contrôle du 17 décembre 2008

Corrigé de l'exercice 3

partie a

Soit g  la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par $g\left(x\right)=1-x^2-\ln \left(x\right)$

1. Calculer la dérivée de la fonction g et étudier son signe. En déduire les variations de la fonction g

   Pour tout réel x appartenant à l'intervalle $]0;+\infty [$, $$\begin{array}{ccc}g\prime \left(x\right)=-2x-{\displaystyle \frac{1}{x}}& \iff & g\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{2x^2+1}{x}}\end{array}$$

   Ainsi, $g\prime$ est la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par $g\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{2x^2+1}{x}}$

   ---

   Pour tout réel x, $2x^2+1>0$. Donc pour tout réel $x>0$, $-{\displaystyle \frac{2x^2+1}{x}}<0$

   Ainsi, $g\prime \left(x\right)<0$ donc la fonction g est strictement décroissante.

   ---

2. Calculer $g\left(1\right)$. En déduire le signe de $g\left(x\right)$ pour x appartenant à l'intervalle $]0;+\infty [$.

   $g\left(1\right)=1-1^2-\ln \left(1\right)=0$

   La fonction g est strictement décroissante donc :

   • $0<x<1\iff g\left(x\right)>g\left(1\right)$. Soit sur $]0;1[$, $g\left(x\right)>0$

   • $x>1\iff g\left(x\right)<g\left(1\right)$. Soit sur $]1;+\infty [$, $g\left(x\right)<0$

   D'où le tableau du signe de $g\left(x\right)$ selon les valeurs du réel x

   x	0			1		$+\infty$
   $g\left(x\right)$			+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

partie b

Soit f  la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{\ln \left(x\right)}{2x}}-{\displaystyle \frac{x}{2}}+1$. On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

1. 1. Calculer la limite de f en 0. Interpréter graphiquement ce résultat.

      $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{2x}}=+\infty$ et $\underset{x\to 0}{\lim }\ln \left(x\right)=-\infty$ donc $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{\ln \left(x\right)}{2x}}=-\infty$. D'autre part, $\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{x}{2}}=0$. Donc $\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\ln \left(x\right)}{2x}}-{\displaystyle \frac{x}{2}}+1=-\infty$.

      Ainsi, $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ donc l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe $C_f$.

      ---

   2. Calculer la limite de f en $+\infty$.

      D'après le théorème du cours, $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\ln \left(x\right)}{x}}=0$ donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\ln \left(x\right)}{2x}}=0$. D'autre part, $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x}{2}}=+\infty$. Donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\ln \left(x\right)}{2x}}-{\displaystyle \frac{x}{2}}+1=-\infty$.

      Ainsi, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ .

      ---

   3. Montrer que la droite D d'équation $y=-{\displaystyle \frac{x}{2}}+1$ est asymptote à la courbe $C_f$ en $+\infty$.

      $f\left(x\right)-\left(-{\displaystyle \frac{x}{2}}+1\right)={\displaystyle \frac{\ln \left(x\right)}{2x}}$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\ln \left(x\right)}{2x}}=0$.

      Donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)-\left(-{\displaystyle \frac{x}{2}}+1\right)=0$ alors la droite D d'équation $y=-{\displaystyle \frac{x}{2}}+1$ est asymptote à la courbe $C_f$ en $+\infty$.

      ---

   4. Calculer les coordonnées du point A, intersection de la droite D et de la courbe $C_f$.

      L'abscisse x du point A est solution de l'équation $$\begin{array}{lll}f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{x}{2}}+1& \iff & {\displaystyle \frac{\ln \left(x\right)}{2x}}-{\displaystyle \frac{x}{2}}+1-\left(-{\displaystyle \frac{x}{2}}+1\right)=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{\ln \left(x\right)}{2x}}=0\\ & \iff & \ln \left(x\right)=0\\ & \iff & x=1\end{array}$$

      D'autre part, A est un point de la droite D d'où $$y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}+1={\displaystyle \frac{1}{2}}$$

      Le point A, intersection de la droite D et de la courbe $C_f$ a pour coordonnées $A\left(1;{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$.

      ---

2. 1. Montrer que pour tout réel x appartenant à l'intervalle $]0;+\infty [$, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{g\left(x\right)}{2x^2}}$.

      La dérivée du quotient ${\displaystyle \frac{\ln \left(x\right)}{2x}}$ est de la forme ${\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$ avec $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=\ln \left(x\right)& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}\\ v\left(x\right)=2x& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=2\end{array}$

      Par conséquent pour tout réel x appartenant à l'intervalle $]0;+\infty [$, $$\begin{array}{lll}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{x}}\times 2x-2\times \ln \left(x\right)}{4x^2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2-2\ln \left(x\right)}{4x^2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{1-\ln \left(x\right)}{2x^2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{1-\ln \left(x\right)-x^2}{2x^2}}\end{array}$$

      Ainsi, pour tout réel x appartenant à l'intervalle $]0;+\infty [$, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{g\left(x\right)}{2x^2}}$.

      ---

   2. En déduire le signe de $f\prime \left(x\right)$ puis les variations de la fonction f.

      Pour tout réel x non nul, $2x^2>0$ donc sur $]0;+\infty [$, $f\prime \left(x\right)$ et $g\left(x\right)$ ont le même signe. D'où le tableau des variations de f

      x	0				1		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$				+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $f\left(x\right)$			$-\infty$		${\displaystyle \frac{1}{2}}$		$-\infty$

3. Tracer la droite D et la courbe $C_f$ dans le repère fourni en annexe.

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