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\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Camille SEE\\Mercredi 17 Décembre 2008}}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{CONTRÔLE N° 4}}}}
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES\\Durée 2 heures}}}
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}


\begin{document}
\exo \qquad (5 \textit{points} )

\medskip


Dans chacun des cas suivants, calculer la primitive $F$ de la fonction $f$ qui vérifie la condition donnée.

	\begin{enumerate}
	\item $f$  est définie sur $\R$   par $f(x)=x^3-3x+\dfrac{1}{2}$  et $F(1)=0$ .
	\item $f$  est définie sur $]0;+\infty[$   par $f(x)=3x^2-\dfrac{2}{x}$  et $F(1)=-1$ .
	\item $f$  est définie sur  $]0;+\infty[$   par $f(x)=\dfrac{2 \ln(x)}{x}$  et $F(\e)=0$ .
\end{enumerate}


\bigskip
	
\exo \qquad (4 \textit{points} )

\medskip

 
\begin{enumerate}
	\item D'une année sur l'autre, un produit perd 5\% de sa valeur. Au bout de combien d'années ce produit aura-t-il a perdu plus de 40\% de sa valeur initiale ?
	\item Un capital est placé à intérêts composés au taux annuel de 3,5\%. Au bout de combien d'années, ce capital aura-t-il augmenté d'au moins 70\% ?
\end{enumerate}



\bigskip
	
\exo \qquad (11 \textit{points} )

\medskip


\textsc{\textbf{\textsf{partie a}}}

\medskip

Soit $g$  la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par  $g(x)=1-x^2-\ln(x)$.

\begin{enumerate}
	\item Calculer la dérivée de la fonction $g$ et étudier son signe. En déduire les variations de la fonction $g$.
	\item Calculer $g(1)$. En déduire le signe de $g(x)$  pour $x$ appartenant à l'intervalle $]0;+\infty[$.
	
\end{enumerate}

\medskip

\textsc{\textbf{\textsf{partie b}}}

\medskip

Soit $f$  la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{\ln(x)}{2x}-\dfrac{x}{2}+1$. On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

\begin{enumerate}
	\item 
\begin{enumerate}
	\item Calculer la limite de $f$ en $0$. Interpréter graphiquement ce résultat.
	\item Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$.
	\item Montrer que la droite $D$ d'équation $y=-\dfrac{x}{2}+1$ est asymptote à la courbe $C_f$ en $+ \infty$.
	\item Calculer les coordonnées du point $A$, intersection de la droite $D$ et de la courbe $C_f$.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
	\item Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0;+\infty[$,  $f'(x)=\dfrac{g(x)}{2x^2}$.
	\item En déduire le signe de  $f'(x)$ puis les variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}
 \item Tracer la droite $D$ et la courbe $C_f$ dans le repère fourni en annexe.
\end{enumerate}

\pagebreak
\begin{center}
\textsc{\textbf{\textsf{annexe}}}


\vspace{2cm}

\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-4.5)(8,2)
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\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=4,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=gray,gridlabels=0](-0.5,-4.5)(8,2)

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\rput(-0.2,-0.2){0}
\uput[d](7.8,-0.1){$x$} \uput[l](-0.1,1.8){$y$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}