contrôle du 20 janvier 2009

Corrigé de l'exercice 1

1. 1. Déterminer la limite de f en (−2) et la limite de f en $+\infty$.

      $\underset{x\to -2^{+}}{\lim }g\left(x\right)=0$ et $\underset{X\to 0}{\lim }\ln \left(X\right)=-\infty$ alors par composition, $\underset{x\to -2^{+}}{\lim }\ln \left(g\left(x\right)\right)=-\infty$

      $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=+\infty$ et $\underset{X\to +\infty }{\lim }\ln \left(X\right)=+\infty$ alors par composition, $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln \left(g\left(x\right)\right)=+\infty$

      Ainsi, $\underset{x\to -2}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$

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   2. Donner le tableau des variations de la fonction f sur l'intervalle $\left]-2;+\infty \right[$.

      La fonction ln est strictement croissante sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ , par conséquent, la fonction $f=\ln \left(g\right)$ a les mêmes variations que la fonction g sur tout intervalle où g est strictement positive.

      D'où le tableau des variations de la fonction f sur l'intervalle $\left]-2;+\infty \right[$ :

      x	$-2$				0		3		$+\infty$
      $f\left(x\right)$			$-\infty$		0		$\ln \left(g\left(3\right)\right)$		$+\infty$

   3. Étudier le signe de $f\left(x\right)$ selon les valeurs du réel x.

      Graphiquement :

      • $0<g\left(x\right)⩽1\iff -2<x⩽\mathrm{4,5}$ donc sur l'intervalle $\left]-2;\mathrm{4,5}\right]$, $\ln \left(g\left(x\right)\right)⩽0$.

      • $g\left(x\right)⩾1\iff x⩾\mathrm{4,5}$ donc sur l'intervalle $\left[\mathrm{4,5};+\infty \right[$, $\ln \left(g\left(x\right)\right)⩾0$.

      D'où le tableau du signe de $f\left(x\right)$ selon les valeurs du réel x :

      x	$-2$			4,5		$+\infty$
      Signe de $f\left(x\right)$			−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

2. Parmi les quatre courbes représentées ci-dessous, déterminer celle qui est susceptible de représenter la fonction f, celle qui est susceptible de représenter la dérivée $f\prime$ de la fonction f sur l'intervalle $\left]-2;+\infty \right[$ et celle qui est susceptible de représenter une primitive F de la fonction f sur l'intervalle $\left]-2;+\infty \right[$.

   • D' après les variations de la fonction f, la courbe C₂ est la seule courbe susceptible de représenter la fonction f.

   • La fonction f est croissante sur les intervalles $\left]-2;0\right]$ ou $\left[3;+\infty \right[$ et décroissante sur l'intervalle $\left[0;3\right]$. D'où $f\prime \left(x\right)⩾0$ pour x appartenant à $\left]-2;0\right]\cup \left[3;+\infty \right[$ et $f\prime \left(x\right)⩽0$ sur l'intervalle $\left[0;3\right]$. La courbe C₄ est donc la seule courbe susceptible de représenter la fonction $f\prime$ .

   • Dire que F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $\left]-2;+\infty \right[$ signifie que pour tout réel x appartenant à l'intervalle $\left]-2;+\infty \right[$, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

     Les variations de F se déduisent du signe de f

     x	$-2$			4,5		$+\infty$
     $f\left(x\right)$			−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
     $F\left(x\right)$

     La courbe C₁ est donc la seule courbe susceptible de représenter la fonction F.

   Courbe C1 représentative de la fonction F	Courbe C2 représentative de la fonction f
   Courbe C3	Courbe C4 représentative de la fonction $f\prime$

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