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\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
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  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
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% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Camille SEE\\Mardi 20 Janvier 2009}}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{CONTRÔLE N° 5}}}}
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES\\Durée 2 heures}}}
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}


\begin{document}
\exo \qquad (5 \textit{points} )

\medskip

On a tracé ci-dessous, la courbe représentative d'une fonction  $g$ définie et dérivable sur $\R$.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-4.5,-4.5)(8,4)
\newgray{gray}{.75}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{violet}{.5 0 .5}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=gray,gridlabels=0](-4.5,-4.5)(8,4)
\psaxes[linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-4.5,-4.5)(8,4)
\rput(-0.3,-0.45){\footnotesize{0}}
\uput[d](7.8,-0.2){\footnotesize{$x$}} \uput[l](-0.2,3.7){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-4.1}{7.2}{(x+2)*(2*x^2-13*x+26)/52}
\psdots[linecolor=violet,dotscale=0.8](-2,0)(0,1)(3,0.48)(4.5,1)
\uput[l](-2,.2){\bleu{\footnotesize{$A$}}}
\uput[l](0.6,1.2){\bleu{\footnotesize{$B$}}}
\uput[u](3,0.48){\bleu{\footnotesize{$C$}}}
\uput[u](4.5,1){\bleu{\footnotesize{$D$}}}
\psline[linecolor=violet,linewidth=0.75pt]{-}(-1.25,1) (1.25,1)
\psline[linecolor=violet,linewidth=0.75pt]{-}(1.75,0.48) (4.25,0.48)
\end{pspicture*}
\end{center}

 On note $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left]-2 ; +\infty \right[$ par :  $f(x)=\ln\left(g(x)\right)$.
 
\begin{enumerate}
	\item
	
\begin{enumerate}
	\item Déterminer la limite de $f$ en $(-2)$ et la limite de $f$ en $+\infty$.
	\item	Donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left]-2 ; +\infty \right[$.
	\item	Étudier le signe de $f(x)$ selon les valeurs du réel $x$.
\end{enumerate}
	\item Parmi les quatre courbes représentées ci-dessous, déterminer celle qui est susceptible de représenter la fonction $f$, celle qui est susceptible de représenter la dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left]-2 ; +\infty \right[$ et celle qui est susceptible de représenter une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left]-2 ; +\infty \right[$.
	\end{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{}>{\centering \arraybackslash}X@{}}}

\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-1.5)(7.75,4)
\newgray{gray}{.75}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{unit=0.4cm}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,subgriddiv=1,gridcolor=gray,gridlabels=0](-5,-3)(15,7)
\psset{unit=0.8cm}
\psaxes[linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-2.5,-1.5)(7.65,3.65)
\rput(-0.3,-0.45){\scriptsize{0}}
\uput[d](7.5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[l](0,3.5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=prune]{-1.99}{7.5}{13.709+x*ln((x+2)*(2*x^2-13*x+26))+0.5*39^.5*atg((4*x-13)/(39^.5))-3.25*ln(2*x^2-13*x+26)+2*ln(x+2)-x*(ln(52)+3)}
\end{pspicture*}
& 
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-2.5)(7.75,3)
\newgray{gray}{.75}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\psset{unit=0.4cm}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=1,gridlabels=0](-5,-5)(15,5)
\psset{unit=0.8cm}
\psaxes[linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-2.5,-2.5)(7.65,2.65)
\rput(-0.3,-0.45){\scriptsize{0}}
\uput[d](7.5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[l](0,2.5){\footnotesize{$y$}}
\newrgbcolor{rouge}{.8 0 .2}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=rouge]{-1.99}{7.5}{ln((x+2)*(2*x^2-13*x+26)/52)}
\end{pspicture*}\\

Courbe $C_1$ & Courbe $C_2$ \\

\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-2.5)(7.75,3)
\newgray{gray}{.75}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\psset{unit=0.4cm}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=1,gridlabels=0](-5,-5)(15,5)
\psset{unit=0.8cm}
\psaxes[linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-2.5,-2.5)(7.65,2.65)
\rput(-0.3,-0.45){\scriptsize{0}}
\uput[d](7.5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[l](0,2.5){\footnotesize{$y$}}
\newrgbcolor{encre}{.3 0 .6}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=encre]{-1.93}{7.5}{ln(52)-ln((x+2)*(2*x^2-13*x+26))}
\end{pspicture*}
&
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-1.5)(7.75,4)
\newgray{gray}{.75}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\psset{unit=0.4cm}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,subgriddiv=1,gridcolor=gray,gridlabels=0](-5,-3)(15,7)
\psset{unit=0.8cm}
\psaxes[linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-2.5,-1.5)(7.65,3.65)
\rput(-0.3,-0.45){\scriptsize{0}}
\uput[d](7.5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[l](0,3.5){\footnotesize{$y$}}
\newrgbcolor{vert}{.1 .4 .2}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=vert]{-1.745}{7.5}{(6*x^2-18*x)/((x+2)*(2*x^2-13*x+26))}
\end{pspicture*}\\
Courbe $C_3$ & Courbe $C_4$ \\
	\end{tabularx}
	
	\pagebreak
	
\exo \qquad (6 \textit{points} )

\medskip


\begin{enumerate}
	\item Recopier et compléter : 	
\begin{enumerate}
	\item Si $u$ est une fonction dérivable, ne s'annulant pas sur un intervalle $I$, la dérivée de la fonction $f=\dfrac{1}{u}$ sur $I$ est \ldots
	\item Si $u$ est une fonction dérivable, strictement positive sur un intervalle $I$, une primitive de la fonction $f=\dfrac{u'}{u}$ sur $I$ est \ldots
\end{enumerate}
	\item Applications :	
\begin{enumerate}
	\item $f$ est la fonction définie sur $\left]\dfrac{3}{2} ; + \infty \right[$ par $f(x)=\dfrac{1}{\ln(2x-3)}$. Calculer $f'(x)$.
	\item $f$ est la fonction définie sur $\left]2 ; + \infty \right[$  par $f(x)=\dfrac{2x-1}{x^2-x-2}$. Calculer la primitive $F$ de la fonction $f$ qui vérifie $F(3)=0$.
	\item $f$ est la fonction définie sur $\left]-1 ; 1 \right[$  par $f(x)=\dfrac{2x}{1-x^2}$. Calculer la primitive $F$ de la fonction $f$ qui vérifie $F\left(\dfrac{1}{2}\right)=\ln 4$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\bigskip
	
\exo \qquad (9 \textit{points} )

\medskip


\begin{center}
\textit{Les deux parties peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.}
\end{center}

\textsc{\textbf{\textsf{partie a}}}

\medskip
On considère une fonction $g$  définie sur $\R$   par $g(x)=ax-\ln(x^2+b)$ , où $a$  et $b$  sont deux réels.

Calculer $a$  et $b$  pour que la courbe représentative de $g$  dans un plan muni d'un repère $\left( {\rm{O}};\vec {i},\vec {j} \right)$  passe par l'origine du repère et admette une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point d'abscisse 3.

\medskip

\textsc{\textbf{\textsf{partie b}}}

\medskip

Soit $f$  la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=0,6x - \ln(x^2+1)$. On admet que $f$  est dérivable et on note $f'$ sa dérivée. Le tableau incomplet des variations de la fonction $f$  est le suivant .

\begin{center}
	\begin{pspicture}(15,4)
\psframe(15,4)
\psline(0,3)(15,3) \psline(0,2)(15,2) \psline(2,0)(2,4)
\uput[l](1.25,3.5){$x$} \uput[l](3,3.5){$- \infty$} \uput[l](7,3.5){$\dfrac{1}{3}$} \uput[l](11,3.5){$3$} \uput[l](15,3.5){$+ \infty$}
\uput[l](1.5,2.5){$f'(x)$} \uput[l](5,2.5){\textbf{\ldots}} \uput[l](7,2.5){$0$} \uput[l](9.2,2.5){\textbf{\ldots}}\uput[l](11,2.5){$0$} \uput[l](13,2.5){\textbf{\ldots}}
\uput[l](1.4,1){$f(x)$} \uput[l](3,0.25){\textbf{\ldots}} \uput[l](7,1.5){\textbf{\ldots}} \uput[l](11,0.25){\textbf{\ldots}} \uput[l](15,1.5){$+ \infty$}
\psline{->}(3.1,0.3)(6.1,1.5)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item Calculer la limite de $f$ en $- \infty$.
	\item Étudier le signe de $f'(x)$ selon les valeurs du réel $x$.
	\item Donner le tableau complet des variations de la fonction de la fonction $f$.
	\item 
\begin{enumerate}	 
	\item Montrer que l'équation $f(x)=0$  admet une unique solution $\alpha$  dans l'intervalle $\left[\dfrac{1}{3};3\right]$.
	\item Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
	\item Quel est le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$ ? 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}