contrôles en terminale ES

Contrôle du 29 avril 2009

Corrigé de l'exercice 1

On considère la fonction f définie sur par f(x)=e1-x+x2.
On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan d'origine O. (Unités : 2 cm sur l'axe des abscisses et 0,5 cm sur l'axe des ordonnées).
La partie hachurée ci-dessous est limitée par la courbe Cf, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et les droites d'équation x=-1 et x=1.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Montrer que la droite d'équation y=x2 est asymptote à la courbe Cf en +.

    Pour tout réel x, f(x)-x2=e1-x

    Or limx+1-x=- et limX-eX=0 alors par composition, limx+e1-x=0

    Ainsi, limx+f(x)-x2=0 donc la droite d'équation y=x2 est asymptote à la courbe Cf en +.


    1. Calculer f(x).

      Pour tout réel x, posons u(x)=1-x d'où u(x)=-1.

      Par conséquent, la fonction g définie sur par g(x)=e1-x est de la forme g=eu. Sa dérivée g est de la forme g=u×eu . Soit pour tout réel x, g(x)=-e1-x.

      La dérivée de la fonction f est la fonction f définie sur par f(x)=-e1-x+12


    2. Résoudre dans l'inéquation 12-e1-x>0

      Pour tout réel x, 12-e1-x>0-e1-x>-12e1-x<12ln(e1-x)<ln12La fonction  ln est strictement croissante1-x<-ln2Pour tout réel xln(ex)=x et pour tout réel a>0ln(1a)=-lnax>1+ln2

      L'ensemble solution de l'inéquation 12-e1-x>0 est l'intervalle ]1+ln2;+[


    3. Établir le tableau des variations de la fonction f . En déduire le signe de f.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau des variations de f :

      x- 1+ln2 +
      f(x) 0||+ 
      f(x) fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      f(1+ln2)

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. 

      D'après son tableau de variation, la fonction f admet un minimum atteint en 1+ln2. f(1+ln2)=e1-1-ln2+1+ln22=e-ln2+1+ln22=1eln2+1+ln22Pour tout réel xe-x=1ex=12+1+ln22Pour tout réel a>0elna=a=2+ln22

      Le minimum de la fonction f est égal à 2+ln22 donc pour tout réel x, f(x)2+ln22>0

      La fonction f est strictement positive sur .


  2. Calculer, en cm2, l'aire 𝒜 de la partie hachurée.

    Sur , la fonction f est dérivable donc continue et, positive donc l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine colorié compris entre la courbe représentative de la fonction f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=-1 et x=1 est :-11f(x)dx=-11(e1-x+x2)dx=[-e1-x+x24]-11=(-e0+14)-(-e1+1+14)=-1+e2

    Ainsi, l'aire 𝒜 du domaine colorié est égale à (e2-1) unités d'aire.


    Or l'unité d'aire est l'aire d'un rectangle de côtés 2 cm et 0,5 cm soit 1 cm2

    L'aire 𝒜 du domaine colorié est égale à (e2-1)cm2.



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