On considère la fonction f définie sur par .
On note sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan d'origine O. (Unités : 2 cm sur l'axe des abscisses et 0,5 cm sur l'axe des ordonnées).
La partie hachurée ci-dessous est limitée par la courbe , l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et les droites d'équation et .
Montrer que la droite d'équation est asymptote à la courbe en .
Pour tout réel x,
Or et alors par composition,
Ainsi, donc la droite d'équation est asymptote à la courbe en .
Calculer .
Pour tout réel x, posons d'où .
Par conséquent, la fonction g définie sur par est de la forme . Sa dérivée est de la forme . Soit pour tout réel x, .
La dérivée de la fonction f est la fonction définie sur par
Résoudre dans l'inéquation
Pour tout réel x,
L'ensemble solution de l'inéquation est l'intervalle
Établir le tableau des variations de la fonction f . En déduire le signe de f.
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau des variations de f :
x | |||||
− | + | ||||
D'après son tableau de variation, la fonction f admet un minimum atteint en .
Le minimum de la fonction f est égal à donc pour tout réel x,
La fonction f est strictement positive sur .
Calculer, en cm2, l'aire de la partie hachurée.
Sur , la fonction f est dérivable donc continue et, positive donc l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine colorié compris entre la courbe représentative de la fonction f, l'axe des abscisses et les droites d'équation et est :
Ainsi, l'aire du domaine colorié est égale à unités d'aire.
Or l'unité d'aire est l'aire d'un rectangle de côtés 2 cm et 0,5 cm soit 1 cm2
L'aire du domaine colorié est égale à .
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