Contrôle du 29 avril 2009

Corrigé de l'exercice 2

partie a

1. On lance un dé cubique équilibré. Les faces sont numérotées de 1 à 6. La probabilité d'obtenir une face numérotée par un multiple de 3 est

   Le dé étant équilibré, la loi de probabilité associée à cette expérience est équirépartie, ce qui signifie que la probabilité d'obtenir un des six numéros est égale à ${\displaystyle \frac{1}{6}}$.
   Soit A l'évènement «obtenir une face numérotée par un multiple de 3 ». $A=\left\{3;6\right\}$, A contient deux issues, donc : $$p\left(\mathrm{A}\right)=2\times {\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$$

   ${\displaystyle \frac{1}{6}}$

   ${\displaystyle \frac{1}{3}}$

   ${\displaystyle \frac{1}{2}}$

2. Soient A et B deux évènements tels que $p\left(\mathrm{A}\right)=\mathrm{0,2}$, $p\left(\mathrm{B}\right)=\mathrm{0,3}$ et à $p\left(\mathrm{A}\cap \mathrm{B}\right)=\mathrm{0,1}$ ; alors

   Si A et B sont deux évènements d'un même univers alors, $$\begin{array}{ll}& p\left(\mathrm{A}\cup \mathrm{B}\right)=p\left(\mathrm{A}\right)+p\left(\mathrm{B}\right)-p\left(\mathrm{A}\cap \mathrm{B}\right)\\ \text{Soit}& p\left(\mathrm{A}\cup \mathrm{B}\right)=\mathrm{0,2}+\mathrm{0,3}-\mathrm{0,1}=\mathrm{0,4}\end{array}$$

   $p\left(\mathrm{A}\cup \mathrm{B}\right)=\mathrm{0,4}$

   $p\left(\mathrm{A}\cup \mathrm{B}\right)=\mathrm{0,5}$

   $p\left(\mathrm{A}\cup \mathrm{B}\right)=\mathrm{0,6}$

3. Soient A et B deux évènements indépendants de probabilité non nulle, alors on a obligatoirement :

   Par définition, dire que A et B sont deux évènements indépendants de probabilité non nulle signifie que : $$p\left(\mathrm{A}\cap \mathrm{B}\right)=p\left(\mathrm{A}\right)\times p\left(\mathrm{B}\right)$$

   $p\left(\mathrm{A}\cap \mathrm{B}\right)=0$

   $p_{\mathrm{A}}\left(\mathrm{B}\right)=p_{\mathrm{B}}\left(\mathrm{A}\right)$

   $p\left(\mathrm{A}\cap \mathrm{B}\right)=p\left(\mathrm{A}\right)\times p\left(\mathrm{B}\right)$

4. Une expérience aléatoire a trois issues possibles : 2 ; 3 et a (où a est un réel). On sait que $p\left(2\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$, $p\left(3\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}$ et $p\left(a\right)={\displaystyle \frac{1}{6}}$.
   On sait de plus que l'espérance mathématique associée est nulle. On a alors

   La loi de probabilité de cette expérience est :

   Issue	2	3	a
   Probabilité	${\displaystyle \frac{1}{2}}$	${\displaystyle \frac{1}{3}}$	${\displaystyle \frac{1}{6}}$

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   L'espérance mathématique associée à cette loi est nulle alors, $$\begin{array}{ccc}2\times {\displaystyle \frac{1}{2}}+3\times {\displaystyle \frac{1}{3}}+a\times {\displaystyle \frac{1}{6}}=0& \iff & a=-12\end{array}$$

   $a=-12$

   $a=6$

   $a=-5$

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partie b

Dans cette partie toutes les réponses seront justifiées.

Dans un club de sport, Julien joue au basket. Il sait que lors d'un lancer sa probabilité de marquer un panier est égale à 0,6.

1. Julien lance le ballon quatre fois de suite. Les quatre lancers sont indépendants les uns des autres.

   1. Montrer que la probabilité que Julien ne marque aucun panier est égale à 0,0256.

      Notons S l'évènement « marquer un panier » nous avons $p\left(S\right)=\mathrm{0,6}$ et $p\left(\overline{S}\right)=1-\mathrm{0,6}=\mathrm{0,4}$

      Au cours d'un lancer, il n'y a que deux issues possibles. Il s'agit donc d'une épreuve de Bernoulli.

      Effectuer quatre lancers indépendants les uns des autres est la répétition de quatre épreuves de Bernoulli indépendantes. La loi de probabilité associée au nombre de paniers marqués est une loi binomiale de paramètres 4 et 0,6.

      La probabilité d'obtenir quatre échecs consécutifs est alors : $$p\left(\overline{S}\overline{S}\overline{S}\overline{S}\right)={\mathrm{0,4}}^4=\mathrm{0,0256}$$

      Ainsi, la probabilité que Julien ne marque aucun panier au cours des quatre lancers est égale à 0,0256.

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   2. Calculer la probabilité que Julien marque au moins un panier.

      L'évènement « Julien marque au moins un panier » est l'évènement contraire de l'évènement « Julien ne marque aucun panier ».

      Donc la probabilité que Julien marque au moins un panier est :$$1-\mathrm{0,0256}=\mathrm{0,9744}$$

      La probabilité que Julien marque au moins un panier est égale à 0,9744.

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2. Combien de fois Julien doit-il lancer le ballon au minimum pour que la probabilité qu'il marque au moins un panier soit supérieure à 0,999 ?
   Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.

   Soit n le nombre de lancers.

   La probabilté d'obtenir n échecs consécutifs est égale à ${\mathrm{0,4}}^n$.

   La probabilté de marquer au moins un panier est alors égale à $1-{\mathrm{0,4}}^n$.

   On cherche donc le plus petit entier n tel que $$\begin{array}{llll}1-{\mathrm{0,4}}^n⩾\mathrm{0,999}& \iff & -{\mathrm{0,4}}^n⩾-\mathrm{0,001}& \\ & \iff & {\mathrm{0,4}}^n⩽\mathrm{0,001}& \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{0,4}}^n\right)⩽\ln \mathrm{0,001}& \text{La fonction logarithme est croissante}\\ & \iff & n\ln \mathrm{0,4}⩽\ln \mathrm{0,001}& \text{Pour tout réel }a\text{ strictement positif et pour tout entier }n\text{, }\ln a^n=n\ln a\\ & \iff & n⩾{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,001}}{\ln \mathrm{0,4}}}& \ln \mathrm{0,4}\text{ est négatif}\end{array}$$

   Or ${\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,001}}{\ln \mathrm{0,4}}}\approx \mathrm{7,5}$ par conséquent, le plus petit entier n pour lequel $1-{\mathrm{0,4}}^n⩾\mathrm{0,999}$ est 8

   Julien doit lancer le ballon au moins huit fois pour que la probabilité qu'il marque au moins un panier soit supérieure à 0,999.

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