contrôles en terminale ES

Contrôle du 29 avril 2009

Corrigé de l'exercice 2

Un opérateur de téléphonie mobile propose à ses abonnés deux forfaits :

une formule A qui donne droit à deux heures de communication mensuelle ;
une formule B qui donne droit à un nombre illimité de communications mensuelles.

On admet que d'une année sur l'autre, le nombre de clients de cet opérateur est stable et que :

20% des clients ayant choisi la formule B changent de formule ;
30% des clients ayant choisi la formule A changent de formule.

En 2008, 80% des clients de cet opérateur étaient abonnés à la formule A.

Représenter les données précédentes par un graphe probabiliste G de sommets A et B et donner sa matrice de transition.
Notons :
$A_{n}$ l'évènement « Un client choisit la formule A, l'année 2008 + n » ;
$B_{n}$ l'évènement « Un client choisit la formule B, l'année 2008 + n ».
D'une année sur l'autre,
- 20% des clients ayant choisi la formule B changent de formule alors : $\begin{matrix} p_{B_{n}} (A_{n + 1}) = 0,2 & et & p_{B_{n}} (B_{n + 1}) = 1 - 0,2 = 0,8 \end{matrix}$
- 30% des clients ayant choisi la formule A changent de formule alors : $\begin{matrix} p_{A_{n}} (B_{n + 1}) = 0,3 & et & p_{A_{n}} (A_{n + 1}) = 1 - 0,3 = 0,7 \end{matrix}$
Le graphe probabiliste qui représente la situation est :
La matrice de transition M de ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des sommets est : $M = (\begin{matrix} 0,7 & 0,3 \\ 0,2 & 0,8 \end{matrix})$
Pour un entier naturel n donné, on note $P_{n} = (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \end{matrix})$ avec $a_{n} + b_{n} = 1$ , la matrice ligne décrivant l'état probabiliste lors de l'année 2008 + n. L'état probabiliste initial est donc $P_{0} = (\begin{matrix} 0,8 & 0,2 \end{matrix})$
1. Calculer la probabilité qu'un client soit abonné à la formule A en 2009.
  Le rang de l'année 2009 est 1. Or l'état probabiliste $P_{1} = P_{0} \times M$ . Soit : $\begin{array}{l} P_{1} & = & (\begin{matrix} 0,8 & 0,2 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,7 & 0,3 \\ 0,2 & 0,8 \end{matrix}) \\ = & (\begin{matrix} 0,8 \times 0,7 + 0,2 \times 0,2 & 0,8 \times 0,3 + 0,2 \times 0,8 \end{matrix}) \\ = & (\begin{matrix} 0,6 & 0,4 \end{matrix}) \end{array}$
  Ainsi, la probabilité qu'un client soit abonné à la formule A en 2009 est égale à 0,6.
2. Montrer que, pour tout entier naturel n, $a_{n + 1} = 0,5 a_{n} + 0,2$ .
  Pour tout entier naturel n l'état probabiliste $P_{n + 1} = P_{n} \times M$ . Soit : $\begin{array}{l} (\begin{matrix} a_{n + 1} & b_{n + 1} \end{matrix}) & = & (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,7 & 0,3 \\ 0,2 & 0,8 \end{matrix}) \\ = & (\begin{matrix} 0,7 a_{n} + 0,2 b_{n} & 0,3 a_{n} + 0,8 b_{n} \end{matrix}) \end{array}$
  Or pour tout entier naturel n, $a_{n} + b_{n} = 1$ d'où $b_{n} = 1 - a_{n}$ et $\begin{array}{l} 0,7 a_{n} + 0,2 b_{n} & = & 0,7 a_{n} + 0,2 \times (1 - a_{n}) \\ = & 0,5 a_{n} + 0,2 \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $a_{n + 1} = 0,5 a_{n} + 0,2$ .
On pose, pour tout entier naturel n : $u_{n} = a_{n} - 0,4$
1. Démontrer que la suite $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,5.
  Pour tout $n ⩾ 0$ , $\begin{array}{l} u_{n + 1} & = & a_{n + 1} - 0,4 \\ = & (0,5 a_{n} + 0,2) - 0,4 \\ = & 0,5 a_{n} - 0,2 \\ = & 0,5 (a_{n} - 0,4) \\ = & 0,5 u_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,5 u_{n}$ . Donc la suite $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,5.
2. Exprimer $u_{n}$ en fonction de n et en déduire que, pour tout entier naturel n : $a_{n} = 0,4 \times (1 + {0,5}^{n})$
  Le terme initial de la suite $(u_{n})$ est : $u_{0} = a_{0} - 0,4 = 0,8 - 0,4 = 0,4$
  $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,5 et de premier terme $u_{0} = 0,4$ , alors pour tout entier naturel n, $u_{n} = 0,4 \times {0,5}^{n}$ .
  Soit pour tout entier naturel n, $\begin{array}{l} a_{n} - 0,4 = 0,4 \times {0,5}^{n} & \Leftrightarrow & a_{n} = 0,4 \times {0,5}^{n} + 0,4 \\ \Leftrightarrow & a_{n} = 0,4 \times ({0,5}^{n} + 1) \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $a_{n} = 0,4 \times (1 + {0,5}^{n})$ .
3. Déduire de ce qui précède, la limite de la suite $(a_{n})$ . Donner une interprétation concrète de ce résultat.
  $0 < 0,5 < 1$ donc $\lim_{x \to + \infty} {0,5}^{x} = 0$ d'où $\lim_{n \to + \infty} 0,4 \times (1 + {0,5}^{n}) = 0,4$
  Ainsi, $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0,4$ donc la suite $(a_{n})$ converge vers 0,4. C'est à dire qu'à long terme, d'une année sur l'autre, environ 40% des clients de cet opérateur choisiront la formule A.
4. À partir de quelle année, la probabilité qu'un client soit abonné à la formule A sera-t-elle inférieure à 0,401 ?
  La probabilité qu'un client soit abonné à la formule A sera inférieure à 0,401 pour le plus petit entier n tel que $\begin{array}{l} a_{n} < 0,401 & \Leftrightarrow & 0,4 \times (1 + {0,5}^{n}) < 0,401 \\ \Leftrightarrow & {0,5}^{n} < \frac{0,401}{0,4} - 1 \\ \Leftrightarrow & \ln {0,5}^{n} < \ln 0,0025 & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \times \ln 0,5 < \ln 0,0025 & Pour tout réel a > 0 et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n > \frac{\ln 0,0025}{\ln 0,5} \approx 8,6 & \ln 0,5 < 0 \end{array}$
  À partir de 2017, la probabilité qu'un client soit abonné à la formule A sera inférieure à 0,401.

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