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\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
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  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Camille SEE\\Mercredi 29 avril 2009}}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{CONTRÔLE N° 8}}}}
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES\\Durée 3 heures}}}
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}


\begin{document}

\exo \qquad (5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les élèves}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\e^{1-x}+\dfrac{x}{2}$ .


On note $C_f$  sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan d'origine O. (\textit{Unités : 2 cm sur l'axe des abscisses et 0,5 cm sur l'axe des ordonnées}).
 
La partie hachurée ci-dessous est limitée par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et les droites d'équation $x = - 1$ et $x = 1$.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-8,-2)(22,15)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{Euler^(1-x)+x/2}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-2)(22,15)
\psset{xunit=2cm, yunit=0.5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt, Dx=1, Dy=2]{->}(0,0)(-2,-2)(5.5,15)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](5.5,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,15){\footnotesize{$y$}}
\rput(21,3.5){\bleu{$C_f$}}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=20,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-1}{1}{\f} \gsave
\psline(1,0)(-1,0)
\fill[hatchwidth=0.5pt,hatchcolor=prune,fillstyle=vlines] \grestore }
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-1,0)(-1,6.889)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](1,0)(1,1.5)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-1.8}{5.5}{\f}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item Montrer que la droite d'équation $y=\dfrac{x}{2}$  est asymptote à la courbe $C_f$  en $+ \infty$.
	\item 
\begin{enumerate}
	\item Calculer $f'(x)$.
	\item Résoudre dans $\R$  l'inéquation $\dfrac{1}{2}-\e^{1-x}>0$.
	\item \'Etablir le tableau des variations de la fonction $f$ . En déduire le signe de $f$.
\end{enumerate}
\item Calculer, en $\mathrm{cm}^2$, l'aire $\mathcal{A}$ de la partie hachurée.	
\end{enumerate}

\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Élèves n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES}

\textit{D'après sujet bac Pondichéry 2009}

\medskip

\textsf{\textbf{{\textsc{partie a}}}}

\medskip 

Cette première partie est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes trois réponses sont proposées, une seule de ces réponses convient.
 
Sur votre copie, noter le numéro de la question et recopier la réponse exacte. Aucune  justification n'est demandée. Une seule réponse est acceptée.
 
\emph{Barème: Une réponse exacte rapporte $0,5$ point, une réponse inexacte enlève $0,25$ point. l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point. Si le total donne un nombre négatif, la note attribuée à cette partie sera ramenée à zéro.}


\begin{enumerate}
\item On lance un dé cubique équilibré. Les faces sont numérotées de 1 à 6.
 
La probabilité d'obtenir une face numérotée par un multiple de 3 est 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\bullet~$}X}}
$\dfrac{1}{6}$&$\dfrac{1}{3}$&$\dfrac{1}{2}$\\
\end{tabularx}

\medskip 

\item  Soient A et B deux évènements tels que $p(\text{A}) = 0,2,~ p(\text{B}) = 0,3$ et $p(\text{A} \cap \text{B}) =  0,1$ ; alors

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\bullet~$}X}} 
$p(\text{A} \cup \text{B}) = 0,4$&$p(\text{A} \cup \text{B}) = 0,5 $&$p(\text{A} \cup \text{B}) = 0,6$\\
 \end{tabularx}

\medskip 
\item  Soient A et B deux évènements indépendants de probabilité non nulle, alors on a obligatoirement :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\bullet~$}X}}  
$p(\text{A} \cap \text{B}) = 0$&$p_{\text{A}}(\text{B} )  = p_{\text{B}}(\text{A})$&$p(\text{A} \cap \text{B}) = p(\text{A}) \times  p(\text{B})$ \\
 \end{tabularx}

\medskip 
\item  Une expérience aléatoire a trois issues possibles : 2 ; 3 et $a$ (où $a$ est un réel). 
On sait que $p(2) = \dfrac{1}{2},~ p(3) = \dfrac{1}{3}$ et $p(a)= \dfrac{1}{6}$. On sait de plus que l'espérance mathématique associée est nulle. On a alors 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\bullet~$}X}}  
 $a = - 12$& 	$a=6$& $ a = - 5$\\
  \end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip 
	 
\textsf{\textbf{{\textsc{partie b}}}}
 
\medskip 

\emph{Dans cette partie toutes les réponses seront justifiées}. 

Dans un club de sport, Julien joue au basket. Il sait que lors d'un lancer sa probabilité de marquer un panier est égale à $0,6$. 
\begin{enumerate}
\item Julien lance le ballon quatre fois de suite. Les quatre lancers sont indépendants les uns des autres. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la probabilité que Julien ne marque aucun panier est égale à \nombre{0,0256}. 
		\item Calculer la probabilité que Julien marque au moins un panier.
	\end{enumerate} 
\item Combien de fois Julien doit-il lancer le ballon au minimum pour que la probabilité qu'il marque au moins un panier soit supérieure à $0,999$ ? 

\textit{Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.} 
\end{enumerate}

\pagebreak

\setcounter{nexo}{1}
\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Élèves ayant suivi l'enseignement de spécialité ES}

\medskip		

Un opérateur de téléphonie mobile propose à ses abonnés deux forfaits :
\begin{itemize}
	\item une formule A qui donne droit à deux heures de communication  mensuelle ;
	\item une formule B qui donne droit à un nombre illimité de communications mensuelles.	
\end{itemize}

On admet que d'une année sur l'autre, le nombre de clients de cet opérateur est stable et que :
\begin{itemize}
	\item 20\,\% des clients ayant choisi la formule B changent de formule ;
	\item 30\,\% des clients ayant choisi la formule A changent de formule.
\end{itemize}

En 2008, 80\,\% des clients de cet opérateur étaient abonnés à la formule A.

\begin{enumerate}
	\item Représenter les données précédentes par un graphe probabiliste $G$ de sommets A et B et donner sa matrice de transition.
	\item Pour un entier naturel $n$ donné, on note $P_n = {\begin{pmatrix} a_n & b_n  \\\end{pmatrix} }$  avec $a_n+b_n=1$ , la matrice ligne décrivant l'état probabiliste lors de l'année $2008 + n$. L'état probabiliste initial est donc $P_0 = {\begin{pmatrix} 0,8 & 0,2  \\\end{pmatrix} }$.
	
\begin{enumerate}
	\item Calculer la probabilité qu'un client soit abonné à la formule A en 2009.
	\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}=0,5a_n+0,2$.
\end{enumerate}
 
 \item On pose pour tout entier $n$, $u_n=a_n-0,4$.
 
\begin{enumerate}
	\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,5.
	\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ et en déduire que, pour tout entier naturel $n$ : $a_n=0,4\times \left(1+0,5^n\right)$
	\item Déduire de ce qui précède, la limite de la suite $\left(a_n\right)$. Donner une interprétation concrète de ce résultat.
	\item \`A partir de quelle année, la probabilité qu'un client soit abonné à la formule A sera-t-elle inférieure à 0,401 ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 10 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les élèves}

\medskip

\textit{Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.}

\medskip 

\textsf{\textbf{{\textsc{partie a}}}}

\medskip 

La courbe $\Gamma$  ci-dessous représente dans un repère orthonormé, une fonction $F$ définie et dérivable sur $\R$ . 

On note $F'$  la fonction dérivée de $F$.

La courbe $\Gamma$ passe par les points $A(-2;0)$ , $B(4;6)$ et $C$.

L'axe des abscisses est asymptote à la courbe $\Gamma$ en $+ \infty$.

La courbe $\Gamma$ admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point $C$ d'abscisse 2 et la tangente au point d'abscisse 4 passe par le point $D$.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-8,-6)(25,15)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x+2)*Euler^(1-x/4)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-6)(25,15)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4,-3)(12.5,7.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](12.5,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,7.5){\footnotesize{$y$}}
\rput(12.2,2.4){\bleu{$\Gamma$}}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](0.5,6.5949)(3.5,6.5949)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](2,7)(10,3)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2.579}{12.5}{\f}
\psdots[linecolor=prune,dotscale=.8] (-2,0)(2,6.5949)(4,6)(8,4)
\rput(-2.3,0.3){\bleu{$A$}}
\rput(1.9,6.8){\bleu{$C$}}
\rput(4,6.3){\bleu{$B$}}
\rput(8,4.3){\bleu{$D$}}
\end{pspicture}
\end{center} 
 
\begin{enumerate}
	\item Déterminer une équation de la droite $(BD)$.
	\item \`A partir du graphique et des renseignements fournis :	
\begin{enumerate}
	\item Déterminer la limite de la fonction $F$ en $+ \infty$.
	\item Dresser le tableau de signes de $F'$.
	\item Déterminer $F'(2)$ et $F'(4)$.
	\item Déterminer  $\displaystyle\int_{-2}^{4} {F'(x) \mathrm{d}x}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip 
	 
\textsf{\textbf{{\textsc{partie b}}}}

\medskip 

On considère trois fonctions $f_1$,  $f_2$ et  $f_3$ définies sur $\R$ par :

$f_1(x)=\dfrac{x^2}{8}-x+\dfrac{3}{2}$ ; \hfill $f_2(x)=\dfrac{2x}{x^2+8}-\dfrac{x}{4}+\dfrac{1}{6}$  \hfill et \hfill $f_3(x)=\dfrac{(2-x){\e}^{1-\dfrac{x}{4}}}{4}$

\begin{enumerate}
	\item \'Etudier le signe de $f_1$ sur $\R$ et  calculer $\displaystyle\int_{-2}^{4} {f_1(x) \mathrm{d}x}$.
	\item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par  $g(x)= \ln(x^2+8)$.	
\begin{enumerate}
	\item Calculer $g'(x)$. En déduire une primitive $F_2$ de la fonction  $f_2$.
	\item Calculer $\displaystyle\int_{-2}^{4} {f_2(x) \mathrm{d}x}$.
\end{enumerate}	
	\item
\begin{enumerate}
\item \'Etudier le signe de $f_3$ sur $\R$.
	\item Une primitive de la fonction $f_3$ est la fonction $F_3$ définie sur $\R$ par $F_3(x)= (ax+b){\e}^{1-\dfrac{x}{4}}$  où $a$ et $b$ sont deux réels. Montrer que $F'_3(x)= \dfrac{(-ax+4a-b){\e}^{1-\dfrac{x}{4}}}{4}$ puis, déterminer $a$ et $b$.
	\item Calculer $\displaystyle\int_{-2}^{4} {f_3(x) \mathrm{d}x}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip 
	 
\textsf{\textbf{{\textsc{partie c}}}}

\medskip 

La fonction $F$ de la partie A est la primitive qui s'annule en $- 2$ d'une des trois fonctions $f_1$,  $f_2$ ou  $f_3$ définies dans la partie B. Calculer $F(2)$.

\textit{Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\end{document}
