Contrôle du 30 mai 2009

Corrigé de l'exercice 4

On désigne par f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=x{\mathrm{e}}^{1-\mathrm{0,5}x}$. On note $C_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal.

1. Étudier le signe de f.

   Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{1-\mathrm{0,5}x}>0$ par conséquent, $f\left(x\right)$ est du même signe que x. D'où le tableau du signe de f :

   x	$-\infty$		0		$+\infty$
   Signe de f		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

   ---

2. 1. Calculer la limite de la fonction f en $-\infty$.

      $\underset{x\to -\infty }{\lim }1-\mathrm{0,5}x=+\infty$ et $\underset{X\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^X=+\infty$ alors par composition, $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^{1-\mathrm{0,5}x}=+\infty$ . D'où $\underset{x\to -\infty }{\lim }x{\mathrm{e}}^{1-\mathrm{0,5}x}=-\infty$

      $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$

      ---

   2. Vérifier que, pour tout nombre réel x, $f\left(x\right)=\left(2-2X\right){\mathrm{e}}^X$ avec $X=1-\mathrm{0,5}x$ . En déduire la limite de la fonction f en $+\infty$. Interpréter graphiquement ce résultat.

      Pour tout nombre réel x, posons $X=1-\mathrm{0,5}x$ alors $x=2-2X$ d'où $f\left(x\right)=\left(2-2X\right){\mathrm{e}}^X$ avec $X=1-\mathrm{0,5}x$.

      Comme $\underset{x\to +\infty }{\lim }1-\mathrm{0,5}x=-\infty$ , étudier la limite de la fonction f en $+\infty$ revient à étudier la limite en $-\infty$ de la fonction $X\mapsto \left(2-2X\right){\mathrm{e}}^X$.

      Or $\left(2-2X\right){\mathrm{e}}^X=2{\mathrm{e}}^X-2X{\mathrm{e}}^X$.

      D'autre part, nous avons $\underset{X\to -\infty }{\lim }2{\mathrm{e}}^X=0$ et $\underset{X\to -\infty }{\lim }2X{\mathrm{e}}^X=0$ d'où $\underset{X\to -\infty }{\lim }2{\mathrm{e}}^X-2X{\mathrm{e}}^X=0$.

      Par conséquent, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$ alors l'axe des abscisses est asymptote à la courbe $C_f$ en $+\infty$

      ---

3. On note $f\prime$ la fonction dérivée de la fonction f.

   1. Démontrer que pour tout nombre réel x, $f\prime \left(x\right)=\left(1-\mathrm{0,5}x\right){\mathrm{e}}^{1-\mathrm{0,5}x}$

      f est le produit de deux fonctions u et v définies et dérivables sur $ℝ$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x, $\{\begin{array}{lll}u\left(x\right)=x& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=1\\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{1-\mathrm{0,5}x}& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=-\mathrm{0,5}{\mathrm{e}}^{1-\mathrm{0,5}x}\end{array}$

      Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{lll}f\prime \left(x\right)& =& {\mathrm{e}}^{1-\mathrm{0,5}x}-\mathrm{0,5}x{\mathrm{e}}^{1-\mathrm{0,5}x}\\ & =& \left(1-\mathrm{0,5}x\right){\mathrm{e}}^{1-\mathrm{0,5}x}\end{array}$$

      $f\prime$ est la fonction définie sur $ℝ$ par $f\prime \left(x\right)=\left(1-\mathrm{0,5}x\right){\mathrm{e}}^{1-\mathrm{0,5}x}$.

      ---

   2. Dresser le tableau complet des variations de la fonction f.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

      Or pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{1-\mathrm{0,5}x}>0$ par conséquent, $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $1-\mathrm{0,5}x$ . D'où le tableau des variations de f :

      x	$-\infty$		2		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $f\left(x\right)$	$-\infty$		2		0

      ---

      Calcul du maximum : $$\begin{array}{ccccc}f\left(2\right)& =& 2\times {\mathrm{e}}^{1-\mathrm{0,5}\times 2}& =& 2\end{array}$$

4. On admet qu'il existe deux réels a et b tels que, pour tout réel x, la fonction F définie sur $ℝ$ par $F\left(x\right)=\left(ax+b\right){\mathrm{e}}^{1-\mathrm{0,5}x}$ est une primitive de la fonction f sur $ℝ$.

   1. Déterminer les valeurs exactes des réels a et b.

      Dire que F est une primitive sur $ℝ$ de la fonction f signifie que pour tout réel x, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

      F est le produit de deux fonctions u et v définies et dérivables sur $ℝ$ d'où $F\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x, $\{\begin{array}{lll}u\left(x\right)=ax+b& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=a\\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{1-\mathrm{0,5}x}& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=-\mathrm{0,5}{\mathrm{e}}^{1-\mathrm{0,5}x}\end{array}$

      Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{lll}F\prime \left(x\right)& =& a{\mathrm{e}}^{1-\mathrm{0,5}x}-\mathrm{0,5}\left(ax+b\right){\mathrm{e}}^{1-\mathrm{0,5}x}\\ & =& \left(-\mathrm{0,5}ax+a-\mathrm{0,5}b\right){\mathrm{e}}^{1-\mathrm{0,5}x}\end{array}$$

      Or $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ signifie que pour tout réel x, $-\mathrm{0,5}ax+a-\mathrm{0,5}b=x$ . D'où a et b sont solutions du système $$\begin{array}{ccc}\{\begin{array}{ccc}-\mathrm{0,5}a& =& 1\\ a-\mathrm{0,5}b& =& 0\end{array}& \iff & \{\begin{array}{c}a=-2\\ b=-4\end{array}\end{array}$$

      $F$ est la fonction définie sur $ℝ$ par $F\prime \left(x\right)=\left(-2x-4\right){\mathrm{e}}^{1-\mathrm{0,5}x}$.

      ---

   2. Déterminer la valeur, en unités d'aire, de l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=2$.

      Sur l'intervalle $\left[0;2\right]$ , la fonction f est continue et positive. Par conséquent, l'aire exprimée en unités d'aire de la partie du plan délimitée par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=2$ est égale à $$\begin{array}{lll}{\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(2\right)-F\left(0\right)\\ & =& \left(-2\times 2-4\right)\times {\mathrm{e}}^{1-\mathrm{0,5}\times 2}-\left(-4\right)\times {\mathrm{e}}^1\\ & =& 4\mathrm{e}-8\end{array}$$

      L'aire de la partie du plan délimitée par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=2$ est égale à $4\mathrm{e}-8$ unités d'aire.

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