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  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Camille SEE\\Samedi 30 mai 2009}}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{CONTRÔLE N° 9}}}}
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES\\Durée 3 heures}}}
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\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}


\begin{document}

\exo \qquad (5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les élèves}

\medskip

Pour chaque question, une et une seule des trois propositions est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte sans justifier le choix effectué.

Barème : \textit{Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse fausse enlève 0,5 point ; l'absence de réponse donne 0 point. Si le total est négatif la note est ramenée à 0}.

\medskip

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$. On a tracé ci-dessous, sa courbe représentative dans un repère orthogonal.


\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-15,-4)(18,11)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x+1)*Euler^(1-.25*x^2)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-15,-4)(18,11)
\psset{xunit=2cm, yunit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3.75,-2)(4.5,5.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](4.5,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,5.5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-3.75}{4.5}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-2.75,-1)(-1.25,-1)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](0.25,4.234)(1.75,4.234)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](0.75,5.5)(4,-1)
\psdots[linecolor=prune,dotscale=.8] (-2,-1)(1,4.234)(2,3)
\end{pspicture}
\end{center}



\begin{enumerate}
	\item On note $f '$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\R$.
\begin{enumerate}
	\item $f'(-1)=0$.	
	\item $f'(-2)<f'(1)$.
	\item $f'(x) \geqslant 0$ sur l'intervalle $\left[ -2 ; 1 \right]$.
\end{enumerate}
\item Soit $F$ une primitive sur  de la fonction $f$.
\begin{enumerate}
	\item $F$ est décroissante sur l'intervalle $\left[ 1 ; + \infty \right[$.
	\item $F$ présente un maximum en $x = 1$.
	\item  $F$ présente un minimum en $x = -1$.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
	\item $ \displaystyle\int_{-1}^{-3} {f(x) \mathrm{d}x} < 0$.
	\item $ \displaystyle\int_{0}^{2} {f(x) \mathrm{d}x} < 8$.
	\item $ \displaystyle\int_{-3}^{3} {f(x) \mathrm{d}x} > \displaystyle\int_{-1}^{3} {f(x) \mathrm{d}x}$.
\end{enumerate}
\item  $g'$ est la fonction dérivée de la fonction $g$ définie sur $\left] -1 ; + \infty \right[$ par  $g(x)= \ln \left[ f(x) \right]$.
\begin{enumerate}
\item $g(x) \geqslant 0$ sur $\left] -1 ; + \infty \right[$.
	\item $g'(0) \leqslant g'(1)$.
	\item $g'(2)=-\dfrac{2}{3}$.	
\end{enumerate}
\item Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par  $h(x)= \e ^ {f(x)}$. On note $\Gamma $ sa courbe représentative
\begin{enumerate}
	\item L'axe des abscisses est asymptote à la courbe $\Gamma $ en $-\infty$	
	\item La droite d'équation $y= 1$ est asymptote à la courbe $\Gamma $ en $+\infty$.
	\item $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} h(x)= + \infty$.
\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\pagebreak

 \exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les élèves}

\medskip

D'après une étude réalisée par le CNC (centre national de la cinématographie) :

\begin{itemize}
	\item les films récents sortis dans l'année représentent 92,5\,\% des entrées de l'ensemble des films exploités ;
	\item les films recommandés \og Art et Essai \fg totalisent 21,3\,\% des entrées ;
	\item 80,7\,\% des entrées des films \og Art et Essai \fg sont des films sortis dans l'année.
\end{itemize}

\medskip

On choisit au hasard un spectateur à la sortie d'un cinéma et on note :

$A$ : l'évènement \og le spectateur a vu un film Art et Essai \fg ;

$R$ : l'évènement \og le spectateur a vu un film récent sorti dans l'année \fg.

\medskip

\textit{Les résultats seront donnés sous forme décimale, éventuellement arrondis au millième}.

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Montrer que la probabilité que le spectateur choisi a vu un film  \og Art et Essai\fg \; sorti dans l'année est égale à 0,172.
	\item Le spectateur choisi n'a pas vu un film \og Art et Essai \fg, quelle est la probabilité que ce soit un film récent sorti dans l'année ?
	\item Le spectateur choisi a vu un film récent sorti dans l'année, quelle est la probabilité que ce soit un film recommandé \og Art et Essai \fg ?
	\item On interroge au hasard et de façon indépendante $n$ spectateurs à la sortie de différentes salles de cinéma. 
	
	Calculer le nombre minimal de spectateurs qu'il faut interroger pour que la probabilité qu'au moins un d'entre n'a pas vu un film récent sorti dans l'année soit supérieure à 0,5.
\end{enumerate}

\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Élèves n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne l'évolution du nombre de milliers d'emplois salariés dans le secteur du textile en France, entre 2000 et 2006.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année	& 2000	& 2001	& 2002	& 2003	& 2004	& 2005	& 2006\\ \hline
Rang $x_i$ du l'année	& 0 & 1	& 2	& 3	& 4	& 5	& 6	\\ \hline
Nombre de milliers d'emplois salariés  $y_i$ &	118	& 113	& 106	& 98	& 89	& 81	& 75	\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Calculer le pourcentage d'évolution annuel moyen du nombre d'emplois salariés entre les années 2003 et 2006. \textit{Ce taux sera exprimé en pourcentage et arrondi au centième}.
	\item On pose $z = \ln y$.
	
\begin{enumerate}
	\item Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs de $z_i$ au millième.
	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 \hspace{0.25cm}$x_i$ \hspace{0.25cm}	& 0 & 1	& 2	& 3	& 4	& 5	& 6	\\ \hline
  $z_i$  \rule[-4mm]{0pt}{1cm} &	4,771	& 	& 	& 	& 	& 	& 	\\ \hline
\end{tabularx}


\item Déterminer une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés (\textit{aucune justification n'est exigée, les calculs seront effectués à la calculatrice et les coefficients seront arrondis au millième}).
\item En déduire une relation entre $y$ et $x$ de la forme $y = A \e ^{Bx}$, $A$ étant arrondi l'unité et $B$ au millième.
\end{enumerate}
\item En supposant que cet ajustement reste valable pour les années suivantes, donner une estimation du nombre de milliers d'emplois salariés dans le secteur textile en 2008.
\item En réalité, le nombre d'emplois salariés dans le secteur du textile a diminué en moyenne de 6,47\,\% par an entre 2006 et 2008. Calculer le nombre de milliers d'emplois salariés dans le secteur textile en 2008.
\end{enumerate}

\pagebreak

\setcounter{nexo}{2}
\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Élèves ayant suivi l'enseignement de spécialité ES}

\medskip		

Un industriel produit une boisson conditionnée sous deux emballages distincts $A$ et $B$.


Une étude effectuée auprès des consommateurs a permis d'établir que d'un mois sur l'autre, 84\,\% des consommateurs restent fidèles au conditionnement $A$ contre 76\,\% pour le conditionnement $B$.

Au moment de l'étude, les consommations des deux conditionnements sont égales.

 
Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ la probabilité qu'un consommateur choisisse le conditionnement $A$ le $n$-ième mois après l'étude et $P_n = {\begin{pmatrix}
   a_n & b_n  \\  \end{pmatrix} }$  la matrice ligne décrivant l'état probabiliste le $n$-ième mois après l'étude. Ainsi, $P_0 = {\begin{pmatrix}
   0,5 & 0,5  \\  \end{pmatrix} }$.
   
   
\begin{enumerate}
	\item Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets $A$ et $B$.
	\item 
\begin{enumerate}
	\item \'Ecrire la matrice de transition $M$ de ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des sommets.
	\item Montrer que la matrice ligne $P_2$ est égale à ${\begin{pmatrix}    0,564 & 0,436  \\  \end{pmatrix} }$.
\end{enumerate}
\item Soit $P = {\begin{pmatrix} a & b  \\  \end{pmatrix} }$ la matrice correspondant à l'état stable, c'est à dire telle que $P=P \times M$ . 

Déterminer les réels $a$ et $b$. Interpréter ce résultat.
\item \`A l'aide de la relation $P_{n+1}=P_n \times M$, démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}=0,6 a_n + 0,24$.
\item On considère la suite $\left( u_n \right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par $ u_n = a_n - 0,6$.
\begin{enumerate}
	\item Démontrer que la suite $\left( u_n \right)$ est une suite géométrique de raison $0,6$.
	\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ et en déduire que $ a_n = - 0,1 \times 0,6 ^ n + 0,6$.
	\item \`A partir de combien de mois après l'étude, la probabilité qu'un consommateur choisisse le conditionnement $A$ est-elle supérieure à $0,595$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

 \exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les élèves}

\medskip

On désigne par $f$ la fonction définie sur $\R$  par $f(x)=x \e ^ {1-0,5x}$ . 

On note $C_f$  sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal.


\begin{enumerate}
	\item \'Etudier le signe de $f$.
	\item 	
\begin{enumerate}
	\item Calculer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$.
	\item Vérifier que, pour tout nombre réel $x$, $f(x)= (2-2X) \e ^{X}$  avec $X=1-0,5x$. 
	
	En déduire la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. Interpréter graphiquement ce résultat.
\end{enumerate}
\item On note $f '$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
\begin{enumerate}
	\item Démontrer que pour tout nombre réel $x$,  $f'(x)=(1-0,5x) \e ^ {1-0,5x}$.
		\item Dresser le tableau complet des variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}
\item On admet qu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout réel $x$, la fonction $F$ définie sur $\R$  par \mbox{$F(x)=(ax+b) \e ^ {1-0,5x}$}  est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.

\begin{enumerate}
	\item Déterminer les valeurs exactes des réels $a$ et $b$.
	\item Déterminer la valeur, en unités d'aire, de l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe $C_f$ , l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 2$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
