contrôles en terminale ES

contrôle du 26 septembre 2009

Corrigé de l'exercice 2

La courbe Cf ci-dessous représente une fonction f définie et dérivable sur ℝ. On note f′ la fonction dérivée de la fonction f. On sait que :

  • la courbe coupe l'axe des ordonnées au point A et la tangente à la courbe au point A passe par le point de coordonnées (-2;0) ;
  • la courbe admet au point B d'abscisse 1 une tangente parallèle à l'axe des abscisses ;
  • l'axe des abscisses est asymptote à la courbe Cf.
Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

  1. À partir du graphique et des renseignements fournis :

    1. Déterminer limx→-∞f⁡(x) et limx→+∞f⁡(x) .

      Graphiquement, limx→-∞f⁡(x)=-∞

      La courbe Cf admet pour asymptote l'axe des abscisses alors limx→+∞f⁡(x)=0

    2. Déterminer f′⁡(0) et f′⁡(1)

      • Le nombre dérivé f′⁡(0) est égal au coefficient directeur de la tangente en A à la courbe. Or la tangente à la courbe au point A(0;2) passe par le point de coordonnées (-2;0). Son coefficient directeur est donc : 0-2-2-0=1

        f′⁡(0)=1

      • Le nombre dérivé f′⁡(1) est égal au coefficient directeur de la tangente en B à la courbe. Or la tangente à la courbe au point B est parallèle à l'axe des abscisses. Son coefficient directeur est nul.

        f′⁡(1)=0

  2. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f′ . Déterminer laquelle.

    Courbe C1 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.Courbe C2 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.Courbe C3 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    Courbe C1Courbe C2Courbe C3

    • f′⁡(0)=1 or la courbe C3 coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées (0;-1). Donc la courbe C3 ne convient pas.

    • La fonction f est décroissante sur l'intervalle [1;+∞[ . Donc sur cet intervalle, f′⁡(x)⩽0 par conséquent la courbe C1 ne convient pas.

    C2 est la seule courbe susceptible de représenter la dérivée de la fonction f

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