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  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
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% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Camille SEE\\Samedi 21 Novembre 2009}}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{CONTRÔLE N° 3}}}}
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES\\Durée 2 heures}}}
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}


\begin{document}

\exo \qquad (6,5 \textit{points} )

\medskip


Dans chacun des cas suivants, calculer la primitive $F$ de la fonction $f$ qui vérifie la condition donnée.

	\begin{enumerate}
	\item $f$  est définie sur $\R$   par $f(x)=x^2-5x-1$\:  et\: $F\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{2}$.
	
	\item $f$  est définie sur $]0;+\infty[$   par $f(x)=x^3+\dfrac{2}{x^2}$\:  et\:  $F(1)=-\dfrac{1}{4}$.
	
	\item $f$  est définie sur  $\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$   par $f(x)=\dfrac{4}{(1-2x)^2}$\:  et\: $F\left(\dfrac{3}{2}\right)=-\dfrac{1}{2}$.
	
\end{enumerate}

\bigskip

\exo \qquad (3 \textit{points} )

\medskip

 
Soit $F$ et $G$ les fonctions définies sur $]-1;+\infty[$  par : $F(x)=\dfrac{x^2+x+1}{x+1}$ et $G(x)=x-2+\dfrac{1}{x+1}$
 
\medskip

Montrer que $F$ et $G$ sont deux primitives sur $]-1;+\infty[$ d'une même fonction $f$ que l'on précisera.

\bigskip

\exo \qquad (10,5 \textit{points} )

\medskip

 
On a tracé ci-dessous, dans le plan muni d'un repère orthogonal, les courbes $C_f$ et $C_g$ représentatives de deux fonctions $f$ et $g$ définies et dérivables sur $\R$.

La droite $D$ est tangente à la courbe $C_f$  au point $A(-1;0)$ et passe par le point de coordonnées $\left(-3;1\right)$ .

\begin{center}
\psset{unit=1.7cm}
\begin{pspicture*}(-5,-1.5)(5,2.25)
\newgray{gray}{.75}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{rouge}{.8 .05 .1}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{1-4/(x^2+3)}
\def\g{8*x/(x^2+3)^2}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=4,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=gray,gridlabels=0](0,0)(-5,-1.5)(5,2.25)
\psset{xunit=1.7cm, yunit=3.4cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-0.02 0.02,yticksize=-0.04 0.04,Dy=.5,labels=x]{->}(0,0)(-5,-0.75)(5,1.125)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[l](0,.51){\footnotesize{$\dfrac{1}{2}$}}
\uput[d](4.9,0){$x$} \uput[l](-0.05,1.05){$y$}
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=rouge](-1.5,-.5)(-.5,-.5)
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=rouge](-.5,-.33333)(.5,-.33333)
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=rouge](.5,.5)(1.5,.5)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=rouge](-3,1)(.5,-.75)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-5}{5}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.5pt, linecolor=prune]{-5}{5}{\g}
\uput[ul](-3,.98){\rouge{$D$}}
\uput[ur](-1,0){\bleu \footnotesize{$A$}}\uput[dr](0,-.3333){\bleu \footnotesize{$C$}}\uput[ul](1,0){\bleu \footnotesize{$B$}}\uput[ur](4.5,.85){\bleu $C_f$}
\uput[d](-1,-.5){\prune \footnotesize{$E$}}\uput[u](1,.5){\prune \footnotesize{$F$}}\uput[r](4.5,.13){\prune $C_g$}
\psdots[dotstyle=*,dotscale=.8, linecolor=rouge](-1,0)(1,0)
\end{pspicture*}
\end{center}


\begin{enumerate}
	\item Par lecture graphique :
	
\begin{enumerate}
	\item Déterminer $g'(-1)$ et $f'(-1)$.
	
	\item Une des deux fonctions est la dérivée de l'autre, déterminez laquelle en justifiant votre choix.
	
\end{enumerate}

\item $g$ est la fonction définie sur $\R$  par $g(x)=\dfrac{8x}{\left(x^2+3\right)^2}$.

\begin{enumerate}
	\item Déterminer une primitive de la fonction $g$.
	
	\item En déduire que $f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=1-\dfrac{4}{x^2+3}$.
	
\end{enumerate}

\item Calculer la limite de $f$ en $- \infty$ et en $+ \infty$. Interpréter graphiquement ces résultats.

\medskip
 
\item Étudier les variations de la fonction $f$.

\medskip
 
\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point $B$. La tracer sur le graphique précédent.

\end{enumerate}

\end{document}