contrôle du 12 décembre 2009

Corrigé de l'exercice 2

Les questions suivantes sont indépendantes.

1. Simplifier ${\displaystyle \frac{\ln \mathrm{e}}{\ln \left({\mathrm{e}}^2\right)}}-\ln \left({\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}\right)$

   $$\begin{array}{lll}{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{e}}{\ln \left({\mathrm{e}}^2\right)}}-\ln \left({\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}\right)& =& {\displaystyle \frac{\ln \mathrm{e}}{2\ln \mathrm{e}}}+\ln \mathrm{e}\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}+1\\ & =& {\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$$

   Ainsi, ${\displaystyle \frac{\ln \mathrm{e}}{\ln \left({\mathrm{e}}^2\right)}}-\ln \left({\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}\right)={\displaystyle \frac{3}{2}}$

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2. Soit a un réel tel que $0<a<1$. Comparer $\ln a$ et $-\ln a$

   Pour comparer $\ln a$ et $-\ln a$ , étudions le signe de leur différence : $$\begin{array}{lll}\ln a-\left(-\ln a\right)& =& \ln a+\ln a\\ & =& 2\ln a\end{array}$$

   Or si $0<a<1$ alors, $\ln a<0$ donc $\ln a-\left(-\ln a\right)<0$

   Ainsi, si $0<a<1$ alors, $\ln a<-\ln a$

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3. Déterminer le plus petit entier n tel que ${\mathrm{1,05}}^n⩾\mathrm{1,5}$.

   $$\begin{array}{llll}{\mathrm{1,05}}^n⩾\mathrm{1,5}& \iff & \ln \left({\mathrm{1,05}}^n\right)⩾\ln \left(\mathrm{1,5}\right)& \text{La fonction }\ln \text{ est strictement croissante}\\ & \iff & n\ln \left(\mathrm{1,05}\right)⩾\ln \left(\mathrm{1,5}\right)& \\ & \iff & n⩾{\displaystyle \frac{\ln \left(\mathrm{1,5}\right)}{\ln \left(\mathrm{1,05}\right)}}& \ln \left(\mathrm{1,05}\right)>0\end{array}$$

   Or ${\displaystyle \frac{\ln \left(\mathrm{1,5}\right)}{\ln \left(\mathrm{1,05}\right)}}\approx \mathrm{8,3}$ donc $n=9$

   Le plus petit entier n tel que ${\mathrm{1,05}}^n⩾\mathrm{1,5}$ est 9.

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4. Chaque année, la population d'une ville diminue de 3%. Au bout de combien d'années, la population de cette ville aura-t-elle diminué de plus de 30% ?

   Soit $P_0$ l'effectif initial de la population de cette ville. Pour tout entier naturel n, notons $P_n$ l'effectif de la population au bout de n années.

   D'une année sur l'autre, la population diminue de 3%. Le coefficient multiplicateur associé à une perte de 3% est égal à $$1-{\displaystyle \frac{3}{100}}=\mathrm{0,97}$$ Donc pour tout entier naturel n, $P_{n+1}=\mathrm{0,97}\times P_n$. Ainsi, $\left(P_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,97 et de premier terme $P_0$ . D'où pour tout entier naturel n, $$P_n={\mathrm{0,97}}^n\times P_0$$

   Le coefficient multiplicateur associé à une perte de 30% est égal à 0,70. n est le plus petit entier tel que $$\begin{array}{llll}{\mathrm{0,97}}^n\times P_0⩽\mathrm{0,7}\times P_0& \iff & {\mathrm{0,97}}^n⩽\mathrm{0,7}& \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{0,97}}^n\right)⩽\ln \left(\mathrm{0,7}\right)& \text{La fonction }\ln \text{ est strictement croissante}\\ & \iff & n\ln \left(\mathrm{0,97}\right)⩽\ln \left(\mathrm{0,7}\right)& \\ & \iff & n⩾{\displaystyle \frac{\ln \left(\mathrm{0,7}\right)}{\ln \left(\mathrm{0,97}\right)}}& \ln \left(\mathrm{0,97}\right)<0\end{array}$$

   Or ${\displaystyle \frac{\ln \left(\mathrm{0,7}\right)}{\ln \left(\mathrm{0,97}\right)}}\approx \mathrm{11,7}$ donc $n=12$

   Dans 12 ans, la population de cette ville aura diminué de plus de 30%.

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