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  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Camille SEE\\Samedi 30 Janvier 2010}}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{CONTRÔLE N° 5}}}}
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES\\Durée 2 heures}}}
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}


\begin{document}

\exo \qquad (9 \textit{points} )

\medskip

Une entreprise fabrique des articles en grande quantité. 

\textbf{Une étude statistique a permis de constater que 10\% des articles fabriqués sont défectueux.}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, toutes les valeurs approchées des résultats demandés seront arrondies au millième.}

\emph{Les trois parties sont indépendantes.}

\medskip


\textbf{\textsc{\textsf{première partie}}}

\medskip

Les articles fabriqués peuvent présenter au maximum deux défauts notés $a$ et $b$.

On note :

\begin{itemize}
	\item[] $A$ l'évènement : \og Un article prélevé au hasard présente le défaut $a$ \fg ;
	\item[] $B$ l'évènement : \og Un article prélevé au hasard présente le défaut $b$ \fg ;
	\item[] $\overline{A}$ et $\overline{B}$   les évènements contraires respectifs de $A$ et $B$.
\end{itemize}

\medskip

On donne les probabilités suivantes : $p(A) = 0,05$ ; $p(B) = 0,06$.

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité de l'évènement  \og un article prélevé au hasard ne présente aucun défaut \fg ? 
\item Calculer la probabilité de l'évènement  \og un article prélevé au hasard présente les deux défauts \fg. 
\item On prélève au hasard un article parmi ceux qui présentent le défaut $a$. Calculer la probabilité que cet article présente également le défaut $b$. 
\item Les évènements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{\textsf{deuxième partie}}}

\medskip
 
On prélève au hasard trois articles et on considère ces trois prélèvements comme étant indépendants.

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité qu'un seul des trois articles soit sans défaut.
\item	Calculer la probabilité qu'au moins un des trois articles soit sans défaut.
\end{enumerate}


\medskip

\textbf{\textsc{\textsf{troisième partie}}}

\medskip

L'entreprise décide de mettre en place un test de contrôle de ces articles avant leur mise en vente. Ce contrôle détecte et élimine 85\% des articles défectueux, mais il élimine également à tort 5\% des articles non défectueux. Les articles non éliminés sont alors mis en vente.

On prend au hasard un article fabriqué et on note :

\begin{itemize}
	\item[] $D$ l'évènement \og l'article est défectueux \fg ;
	\item[] $V$ l'évènement \og l'article est mis en vente \fg.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
	\item Construire un arbre pondéré rendant compte de cette situation.
	\item Montrer que la probabilité qu'un article fabriqué soit mis en vente après contrôle est 0,87.
	\item Calculer la probabilité qu'un article mis en vente après contrôle soit défectueux.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo \qquad (3 \textit{points} )

\medskip
 
Actuellement, le taux du livret A d'épargne est égal à 1,25\%. 

En supposant que ce taux reste inchangé sur le long terme, au bout de combien d'années, un capital placé sur le livret A  aura-t-il plus que doublé ?

\pagebreak

\exo \qquad (8 \textit{points} )

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $\left]-\dfrac{1}{2}~;~+ \infty \right[$ par $f(x)~=~ \ln (2x+1)+ \dfrac{x}{2x+1}$.

Sa courbe représentative notée $C_f$  est donnée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1.1,-3.2)(14.51,4.5)

\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{ln(2*x+1)+x/(2*x+1)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=gray,gridlabels=0](0,0)(-1,-3)(14.5,4.5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-0.05 0.05,yticksize=-0.05 0.05]{->}(0,0)(-1,-3)(14.5,4.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[d](14.4,0){$x$} \uput[l](-0.05,4.3){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-0.38}{14.5}{\f}
\uput[r](13.7,3.5){\bleu $C_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\displaystyle \lim_{x \to - \frac{1}{2}} f(x)$. Interpréter graphiquement ce résultat. 
		\item Calculer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
	\end{enumerate} 
 
		\item  On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. 
		\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$
		\item \'Etudier le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs du réel $x$.
		\item En déduire les variations de $f$.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 0 et la tracer sur le graphique.
\item Soit $F$ la primitive de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left]-\dfrac{1}{2}~;~+ \infty \right[$ telle que $F(0)=0$ .
\begin{enumerate}
	\item \'Etudier les variations de la fonction $F$.
	\item  En déduire le signe de $F$.
\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\end{document}