contrôles en terminale ES

bac blanc du 16 février 2010

correction de l'exercice 1 : commun à tous les Élèves

Une entreprise fabrique des articles en grande quantité. Une étude statistique a permis de constater que 10% des articles fabriqués sont défectueux.

Dans cet exercice, toutes les valeurs approchées des résultats demandés seront arrondies au millième. Les deux parties sont indépendantes.

première partie

On prélève au hasard trois articles et on considère ces trois prélèvements comme étant indépendants.

Dans les deux questions suivantes, on s'intéresse uniquement à la réalisation de l'évènement D « l'article fabriqué est défectueux » ou à sa non réalisation $\bar{D}$ . Il s'agit donc de la répétition de trois expériences de Bernoulli indépendantes, modélisées par l'arbre ci-dessous :

La loi de probabilité associée au nombre d'articles ayant un défaut est une loi binomiale de paramètres 0,1 et 3.

Calculer la probabilité qu'un seul des trois articles soit sans défaut.
Il y a trois issues $D D \bar{D}$ , $D \bar{D} D$ et $\bar{D} D D$ qui correspondent à l'évènement E « un seul des trois articles est sans défaut ». D'où : $p (E) = 3 \times 0,9 \times {0,1}^{2} = 0,027$
La probabilité qu'un seul des trois articles soit sans défaut est égale à 0,027.
Calculer la probabilité qu'au moins un des trois articles soit sans défaut.
L'évènement F « au moins un des trois articles est sans défaut » est l'évènement contraire de l'évènement « les trois articles ont un défaut ». D'où : $p (F) = 1 - {0,1}^{3} = 0,999$
La probabilité qu'au moins un des trois articles soit sans défaut est égale à 0,999.

deuxième partie

Les articles fabriqués peuvent présenter au maximum deux défauts notés a et b.
On note :

A l'évènement : «Un article prélevé au hasard présente le défaut a » ;
B l'évènement : «Un article prélevé au hasard présente le défaut b » ;
$\bar{A}$ et $\bar{B}$ les évènements contraires respectifs de A et B.

On donne les probabilités suivantes : $p (A) = 0,05$ ; $p (B) = 0,06$ .

Quelle est la probabilité de l'évènement « un article prélevé au hasard ne présente aucun défaut » ?
L'évènement « un article prélevé au hasard ne présente aucun défaut » est l'évènement contraire de l'évènement « un article prélevé au hasard un défaut ». Or 10% des articles fabriqués sont défectueux d'où $p (\bar{A \cup B}) = 1 - 0,1 = 0,9$
La probabilité de l'évènement « un article prélevé au hasard ne présente aucun défaut » est égale à 0,9.
Calculer la probabilité de l'évènement « un article prélevé au hasard présente les deux défauts ».
L'évènement « un article prélevé au hasard présente les deux défauts » est l'evènement $A \cap B$ . Or $\begin{matrix} p (A \cup B) = p (A) + p (B) - p (A \cap B) & \Leftrightarrow & p (A \cap B) = p (A) + p (B) - p (A \cup B) \\ Soit & p (A \cap B) = 0,05 + 0,06 - 0,1 = 0,01 \end{matrix}$
Ainsi, la probabilité de l'évènement : « un article prélevé au hasard présente les deux défauts » est égale à 0,01.
On prélève au hasard un article parmi ceux qui présentent le défaut a. Calculer la probabilité que cet article présente également le défaut b.
Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle de l'évènement B sachant que l'évènement A est réalisé : $\begin{matrix} p_{A} (B) = \frac{p (A \cap B)}{p (A)} & Soit & p_{A} (B) = \frac{0,01}{0,05} = 0,2 \end{matrix}$
La probabilité que parmi les articles qui ont le défaut a, un article présente également le défaut b est égale à 0,2.
Les évènements A et B sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
Nous avons $p_{A} (B) = 0,2$ et $p (B) = 0,06$
D'où $p (B) \neq p_{A} (B)$ . Donc les évènements A et B ne sont pas indépendants.
Un article sans défaut est vendu à 150 €. Un article qui présente seulement le défaut a est vendu avec une remise de 30%, un article qui présente seulement le défaut b est vendu avec une remise de 40% et un article qui a les deux défauts n'est pas vendu.
1. Établir la loi de probabilité du prix de vente en euros, noté X, d'un article.
  - Le prix de vente en euro d'un article qui présente seulement le défaut a est $150 \times 0,7 = 105$ et le prix de vente en euro d'un article qui présente seulement le défaut b est $150 \times 0,6 = 90$
  - D'après la formule des probabilités totales, nous avons : $\begin{matrix} p (A) = p (A \cap \bar{B}) + p (A \cap B) & et & p (B) = p (B \cap \bar{A}) + p (B \cap A) \end{matrix}$
    - D'où la probabilité de l'évènement «un article présente seulement le défaut a» est $\begin{matrix} p (A \cap \bar{B}) = p (A) - p (A \cap B) & Soit & p (A \cap \bar{B}) = 0,05 - 0,01 = 0,04 \end{matrix}$
    - et la probabilité de l'évènement «un article présente seulement le défaut b» est $\begin{matrix} p (B \cap \bar{A}) = p (B) - p (A \cap B) & Soit & p (B \cap \bar{A}) = 0,06 - 0,01 = 0,05 \end{matrix}$
  D'où la loi de probabilité du prix de vente en euros, noté X, d'un article :
  X 0 90 105 150
  $p_{i}$ 0,01 0,05 0,04 0,9
2. Quel chiffre d'affaires l'entreprise peut-elle espérer réaliser sur la vente de 1000 articles ?
  L'espérance mathématique de la loi de probabilité du prix de vente X est $E (X) = 0 \times 0,01 + 90 \times 0,05 + 105 \times 0,04 + 150 \times 0,9 = 143,7$
  Pour une grande quantité d'articles vendus, le prix de vente moyen d'un article est de 143,7 €.
  Le chiffre d'affaires que l'entreprise peut espérer réaliser sur la vente de 1000 articles est donc de 143 700 €.

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X	0	90	105	150
$p_{i}$	0,01	0,05	0,04	0,9