bac blanc du 16 février 2010

Corrigé de l'exercice 2 : Élèves n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Chaque question admet une seule réponse exacte : a, b ou c. Pour chacune des questions indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est  demandée.
Barème : Une mauvaise réponse enlève la moitié des points attribués à la question. L'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points de l'exercice est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est ramenée à 0.

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partie a

1. Avec un taux d'accroissement annuel moyen de 0,45%. Dans 40 ans, la population française aura augmenté de  :

   Soit $P_0$ l'effectif initial de la population. Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 0,45% est égal à $$1+{\displaystyle \frac{\mathrm{0,45}}{100}}=\mathrm{1,0045}$$

   Avec un taux d'accroissement annuel moyen de 0,45%. Dans 40 ans, l'effectif de la population française sera : $$\begin{array}{ccc}{P}_{40}={\mathrm{1,0045}}^{40}\times P_0& \text{Soit}& P_{40}\approx \mathrm{1,197}\times P_0\end{array}$$ Ce qui correspond à une augmentation de la population d'environ 19,7%

   a) moins de 18%

   b) 18 %

   c) plus de 18%

2. La primitive H de la fonctionh définie pour tout réel x par $h\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}$ telle que $H\left(0\right)=-1$ est la fonction H définie pour tout réel x par  :

   Pour tout réel x, posons $u\left(x\right)=x^2+1$ d'où $u\prime \left(x\right)=2x$

   Donc $h={\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$ avec $u>0$ d'où $H=\ln \left(u\right)$. Les primitives de h sont les fonctions H définies sur $ℝ$ par : $$H\left(x\right)=\ln \left(x^2+1\right)+c$$

   Or $$\begin{array}{lll}H\left(0\right)=-1& \iff & \ln \left(1\right)+c=-1\\ & \iff & c=-1\end{array}$$

   Ainsi, H est la fonction définie sur $ℝ$ par : $$\begin{array}{ccc}H\left(x\right)& =& \ln \left(x^2+1\right)-1\\ & =& \ln \left(x^2+1\right)-\ln \mathrm{e}\\ & =& \ln \left({\displaystyle \frac{x^2+1}{\mathrm{e}}}\right)\end{array}$$

   a)  $H\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}-2$

   b)  $H\left(x\right)=\ln \left({\displaystyle \frac{x^2+1}{\mathrm{e}}}\right)$

   c)  $H\left(x\right)=\ln \left({\displaystyle \frac{x}{x^2+1}}-\mathrm{e}\right)$

partie b

3. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f

   Le nombre dérivé $f\prime \left(0\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe $C_f$ au point $A\left(0;{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$ passant par le point $B\left(2;0\right)$ d'où $$\begin{array}{ccccc}f\prime \left(0\right)& =& {\displaystyle \frac{0-{\displaystyle \frac{1}{2}}}{2-0}}& =& -{\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}$$

   a)  $f\prime \left(0\right)=-{\displaystyle \frac{5}{4}}$

   b)  $f\prime \left(0\right)=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$

   c)  $f\prime \left(0\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Parmi les trois représentations graphiques ci-dessous, une représente la dérivée $f\prime$ de f et une autre représente une primitive F de f sur $ℝ$

Courbe $C_1$	Courbe $C_2$	Courbe $C_3$

4. La dérivée $f\prime$ de la fonction f est représentée par :

   f est une fonction décroissante par conséquent, $f\prime \left(x\right)⩽0$. $C_3$ est la seule courbe susceptible de représenter la dérivée $f\prime$ de la fonction f.

   a) La courbe $C_1$

   b) La courbe $C_2$

   c) La courbe $C_3$

5. Une primitive F de f sur $ℝ$ est représentée par :

   Dire que F est une primitive de la fonction f sur $ℝ$ signifie que pour tout réel x, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

   Les variations de F se déduisent du signe de f. Or pour tout réel x, $f\left(x\right)>0$ donc F est une fonction croissante. $C_1$ est la seule courbe susceptible de représenter une primitive F de la fonction f sur $ℝ$.

   a) La courbe $C_1$

   b) La courbe $C_2$

   c) La courbe $C_3$

Soit g la fonction définie sur $ℝ$ par $g\left(x\right)=\ln \left[f\left(x\right)\right]$.

6. La courbe $C_f$ admet pour asymptotes la droite d'équation $y=1$ et l'axe des abscisses. Nous avons :

   • $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=1$ et $\underset{X\to 1}{\lim }\ln \left(X\right)=0$ alors par composition, $\underset{x\to -\infty }{\lim }\ln \left[f\left(x\right)\right]=0$

   • $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$ et $\underset{X\to 0}{\lim }\ln \left(X\right)=-\infty$ alors par composition, $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln \left[f\left(x\right)\right]=-\infty$

   a)  $\underset{x\to -\infty }{\lim }g\left(x\right)=1$

   b)  $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=0$

   c)  $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=-\infty$

7. Pour tout réel x,

   • $f\left(x\right)<1$ donc $\ln \left[f\left(x\right)\right]<0$

   • f est une fonction décroissante par conséquent, la fonction $g=\ln f$ est une fonction décroissante d'où pour tout réel x, $g\prime \left(x\right)⩽0$

   a)  $g\left(x\right)⩾0$

   b)  $g\prime \left(x\right)⩾0$

   c)  $g\prime \left(x\right)⩽0$

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