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\DecimalMathComma

\newcounter{nexo}    % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Camille SEE\\Samedi 27 mars 2010}}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{contrôle n° 7}}}}}
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES\\Durée 3 heures}}}
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}


\begin{document}

\exo \qquad (3 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les élèves}

\medskip


\begin{enumerate}
	\item Résoudre dans $\R$  l'inéquation $\e^{\frac{1}{x}} \geqslant \e$ .
	\item	
\begin{enumerate}
	\item En utilisant les propriétés algébriques de la fonction exponentielle, simplifier l'expression $\dfrac{\e^{3x+5}}{\e^{3-2x}}$.
	\item Résoudre dans $\R$  l'équation $\dfrac{\e^{3x+5}}{\e^{3-2x}}=\e^{2x^2-1}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\exo \qquad (7 \textit{points} ) 
	
\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie a}}}}   \hfill \emph{Partie commune à tous les élèves}

\medskip

La courbe $C_f$ tracée ci-dessous dans un repère orthonormé est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $]-1 ; + \infty [$ . On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $]-1 ; + \infty [$ .
\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(13,10)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{(3-3*x)/(x^3+1)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-2)(13,10)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labels=none,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1,-1)(6.5,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[l](0,1){\footnotesize{1}} \uput[d](1,0){\footnotesize{1}}
\uput[d](6.3,0){\footnotesize{$x$}} \uput[l](0,4.8){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-.48}{6.5}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-1,3)(1.7,-1.05)
\uput[ur](-1,4.5){\bleu{\small{$C_f$}}}
\end{pspicture}
\end{center} 


\begin{enumerate}
	\item La tangente à la courbe $C_f$  au point  $A(1;0)$ passe par le point $B(0;1,5)$ . En déduire $f(1)$ et $f'(1)$.
	\item Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique d'une primitive $F$ de la fonction $f$. 
	
	Déterminer la courbe associée à la fonction $F$. (\emph{Justifier})

{\psset{unit=.4cm}
\pspicture(-2,-6)(10,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\rput(4,5){\footnotesize{\textsf {\textbf{\textsc{courbe 1}}}}}
\def\f{ln((x+1)^2/(x^2-x+1))}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-6)(10,4)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[labels=none,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1,-3)(5,2)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[l](0,1){\footnotesize{1}} \uput[d](1,0){\footnotesize{1}}
\uput[d](4.8,0){\footnotesize{$x$}} \uput[l](0,1.8){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{-.68}{5}{\f}
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=bleu](-1,-3)(.66,1.98)
\endpspicture}
\hfill
{\psset{unit=.4cm}
\pspicture(-2,-4)(10,8)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\rput(4,7){\footnotesize{\textsf {\textbf{\textsc{courbe 2}}}}}
\def\f{ln((x^2-x+1)/(x+1)^2)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-4)(10,6)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[labels=none,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1,-2)(5,3)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[l](0.15,1){\footnotesize{1}} \uput[d](1,0){\footnotesize{1}}
\uput[d](4.8,0){\footnotesize{$x$}} \uput[l](0,2.8){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{-.68}{5}{\f}
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=bleu](-1,3)(.66,-1.98)
\endpspicture}
\hfill 
{\psset{unit=.4cm}
\pspicture(-2,-6)(10,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\rput(4,5){\footnotesize{\textsf {\textbf{\textsc{courbe 3}}}}}
\def\f{(x^2+x-1)/(x^3+1)^2+1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-6)(10,4)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[labels=none,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1,-3)(5,2)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[l](0,1){\footnotesize{1}} \uput[d](1,0){\footnotesize{1}}
\uput[d](4.8,0){\footnotesize{$x$}} \uput[l](0,1.8){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{-.77}{5}{\f}
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=bleu](-1,-1)(2,2)
\endpspicture}
\end{enumerate}
 	
\bigskip

\begin{center}
 La \textsf {\small{\textbf{\textsc{partie b}}}} de cet exercice,  sur la page suivante, ne concerne que les élèves n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES
 \end{center} 
\pagebreak
		
\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie b}}}}   \hfill   \emph{Élèves n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES} 

\medskip

Pour la suite, on admet que la fonction $f$ est définie sur $]-1 ; + \infty [$ par $f(x)=\dfrac{3-3x}{x^3+1}$.

\begin{enumerate}
	\item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $-1$ et en $+ \infty$. Interpréter graphiquement les résultats.
	\item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]-1 ; + \infty [$ , $f(x)=\dfrac{2}{x+1}-\dfrac{ax+b}{x^2-x+1}$.
	\item Soit $F$ la primitive de la fonction $f$ telle que  $F(1)=2 \ln 2$.
	
\begin{enumerate}
	\item Déterminer une équation de la tangente $d$ à la courbe représentative de la fonction $F$ au point d'abscisse 1.
	\item Calculer $F(x)$.
	\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe représentative de la fonction $F$ au point d'abscisse 0.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

\setcounter{nexo}{1}
\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Élèves ayant suivi l'enseignement de spécialité ES}

\medskip		
		
Soit $(u_n)$ la suite définie par : $u_0 = 300$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}= 0,75\times u_n + 200$ .

\begin{enumerate}
	\item Utiliser les droites d'équations $y = x$ et $y = 0,75x+200$  pour construire les quatre premiers termes de la suite  $(u_n)$ . (\emph{Cette construction est à faire sur le graphique de l'annexe 1 ci-dessous})
	
	Que peut-on conjecturer à propos de la limite de la suite $(u_n)$ ?
	\item Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n -800$.	
\begin{enumerate}
	\item Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
	\item Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$. 
	
	En déduire que, pour tout entier naturel $n$,  ${u_n= 800 - 500 \times 0,75^n}$.
	\item La suite $(u_n)$ est-elle convergente ?
\end{enumerate}
\item Une salle de spectacle propose un abonnement pour l'année. En 2010, il y avait 300 abonnés.
 
On estime que chaque année, il y a 200 nouveaux abonnés et que d'une année sur l'autre, 75 \% des abonnés renouvellent leur abonnement.

On note $u_n$ le nombre d'abonnés pour l'année $2010 + n$ ; on a donc  $u_0 = 300$ et  $u_{n+1}= 0,75 \times  u_n + 200$.
\begin{enumerate}
	\item Dans combien d'années, le nombre d'abonnés sera-t-il supérieur à 790 ?
	\item Dans ces conditions, est-il possible pour le gérant de la salle de spectacle d'espérer 1000 abonnés ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture*}(-1,-.5)(20,19.8)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\rput(9.5,19.5){\textsf {\textbf{\textsc{annexe 1}}}}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=gray,gridlabels=0](0,0)(20,19)
\psset{unit=.16mm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt, Dx=100, Dy=100]{->}(0,0)(1000,950)
\uput[d](990,0){$x$} \uput[l](0,940){$y$}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=bleu](0,0)(950,950)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=prune](0,200)(1000,950)
\end{pspicture*}
\end{center}

\pagebreak

 \exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les élèves}

\medskip

Dans cet exercice, les résultats seront éventuellement arrondis à $10^{-3}$ près.
 
Une étude sur la fréquentation d'une salle de spectacle a permis d'établir les résultats suivants :

\begin{itemize}
\item  60\:\% des spectateurs possèdent un abonnement ; 
\item  parmi les spectateurs ne possédant pas d'abonnement, 75\:\% ont été influencé par une critique ; 
\item  24\:\% des spectateurs, possèdent un abonnement et ont été influencé par une critique.
\end{itemize}

\medskip
 
\`A la sortie d'un spectacle, on choisit un spectateur au hasard et on note :
\begin{itemize}
\item $A$ l'évènement : \og le spectateur possède un abonnement \fg{} ;
\item $C$ l'évènement : \og le spectateur a été influencé par une critique \fg. 
\end{itemize}


\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Grâce aux données de l'énoncé, donner les probabilités suivantes $p(A)$, $p\left(A \cap C\right)$ et $p_{\overline{A}}\left(C\right)$.
		\item Calculer $p_{A}\left( C \right)$.
\end{enumerate} 
\item Démontrer que la probabilité de l'évènement $C$ est 0,54. 
\item Le spectateur choisi n'a pas été influencé par une critique, quelle est la probabilité que ce soit un spectateur possédant un abonnement ? 
\item On choisit successivement au hasard et de manière indépendante trois spectateurs. 
 
Quelle est la probabilité qu'il y en ait au plus deux ayant un abonnement ? 
\end{enumerate}

\pagebreak

 \exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les élèves}

\medskip

La production mensuelle d'une certaine catégorie d'articles par une entreprise est comprise entre 0 et 8000.
 
Le coût total de production, exprimé en milliers d'euros, est modélisé par la fonction $C_T$ définie sur l'intervalle $[0;8]$  par  $C_{T}(x) =  \dfrac{x^2}{2} + x\e^{2-x}$ où $x$ représente le nombre de milliers d'articles fabriqués.

\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie a}}}} 

\medskip

La fonction coût moyen, notée $C$ est la fonction définie sur $]0 ; 8]$ par $C(x) = \dfrac{C_{T}(x)}{x}$.
\begin{enumerate}
\item Donner une expression du coût moyen $C(x)$, en fonction de $x$.
\item Déterminer $C'(x)$ où $C'$ désigne la fonction dérivée de la fonction coût moyen $C$.	


\item  \begin{enumerate}
\item  Résoudre dans $\R$ l'équation : 	$\dfrac{1}{2} - \e^{2-x} =  0$.
\item  Résoudre dans $\R$ l'inéquation : $\dfrac{1}{2} - \e^{2-x} >  0$.
\item  En déduire le sens de variations de la fonction coût moyen $C$ sur $]0~ ; 8]$.
\end{enumerate}
\item Pour quelle production l'entreprise a-t-elle un coût moyen minimal et quel est ce coût en euros ?
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie b}}}} 

\medskip

Chaque millier d'articles est vendue 3500~\euro. La recette totale pour $x$ milliers d'articles est donnée, en admettant que toute la production soit vendue, par $R(x) = 3,5x$ en milliers d'euros. 

Le bénéfice est donc défini par $B(x) = R(x) - C_{T}(x)$.

En annexe 2, sont représentées les fonctions $C_{T}$ et $R$.

\begin{enumerate}
\item  Par lecture graphique déterminer :
\begin{enumerate}
\item le coût moyen minimal ;
\item l'intervalle dans lequel doit se situer la production $x$ pour qu'il y ait un bénéfice positif de l'entreprise ;
\item la production $x_{0}$ pour laquelle le bénéfice est maximal.
\end{enumerate}

\emph{On fera apparaître les constructions nécessaires.}

\item \`A l'aide de votre calculatrice, affiner l'intervalle (à un article près) dans lequel doit se situer la production $x$ pour qu'il y ait un bénéfice positif de l'entreprise.
\end{enumerate}


\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(33,34)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
 \rput(16,33){\textsf {\small{\textbf{\textsc{annexe 2}}}}}
\def\f{.5*x^2 + x*Euler^(2-x)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(33,32)
\psset{xunit=2cm,yunit=.5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=5]{->}(0,0)(8.25,32)
\uput[d](8.2,0){$x$} \uput[l](0,31.5){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0}{8}{\f}
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune](0,0)(8,28)
\uput[dr](8,32){\small{\bleu{$C_{T}$}}}
\uput[ur](8,28){\small{\prune{$R$}}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}
