contrôles en terminale ES

contrôle du 25 septembre 2010

Corrigé de l'exercice 2

Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes dérivables sur leur ensemble de définition.

f est définie sur $ℝ$ par $f (x) = \frac{1}{x^{2} + x + 1}$
$f = \frac{1}{u}$ d'où $f' = - \frac{u'}{u^{2}}$ avec pour tout réel x, $u (x) = x^{2} + x + 1$ et $u' (x) = 2 x + 1$
Ainsi, $f'$ est la fonction définie sur $ℝ$ par $f' (x) = - \frac{2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$
g est définie sur $] 0; + \infty [$ par $g (x) = {(1 + \frac{2}{x^{2}})}^{2}$
$g = u^{2}$ d'où $g' = 2 u u'$ avec pour tout réel x strictement positif, $u (x) = 1 + \frac{2}{x^{2}}$ et $u' (x) = - \frac{4}{x^{3}}$
Soit pour tout réel x strictement positif, $\begin{matrix} g' (x) & = & 2 \times (1 + \frac{2}{x^{2}}) \times (- \frac{4}{x^{3}}) \\ = & \frac{- 8 (x^{2} + 2)}{x^{5}} \end{matrix}$
Ainsi, $g'$ est la fonction définie sur $] 0; + \infty [$ par $g' (x) = \frac{- 8 (x^{2} + 2)}{x^{5}}$

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