contrôles en terminale ES

contrôle du 25 septembre 2010

Corrigé de l'exercice 4

  1. Soit u la fonction définie sur l'intervalle 0+ par ux=1+1x. Calculer ux

    u est la fonction définie sur l'intervalle 0+ par ux=-1x2.


  2. Soit g une fonction définie et dérivable sur l'intervalle 0+. On note g la dérivée de la fonction g. On sait que g2=1 et pour tout réel x>0, gx=x-1x.
    Donner le tableau des variations de la fonction g.

    Les variations de la fonction g se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau des variations de la fonction g :

    x0 1 +
    gx=x-1x 0||+ 
    gx fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. 

  3. On considère la fonction f définie sur l'intervalle 0+ par fx=gux.
    On admet que f est dérivable sur 0+ et on note f la dérivée de la fonction f.

    1. Calculer f1.

      f1=gu1. Or u1=1+1=2 et g2=1. Donc f1=1


    2. Calculer fx.

      f est la fonction composée de la fonction u suivie de la fonction g. Par application du théorème sur la dérivée des fonctions composées, fx=gux×ux.

      Or gx=x-1x d'où gux=ux-1uxetux-1ux=1+1x-11+1x=1xx+1x=1x+1

      Donc pour tout réel x>0, fx=1x+1×-1x2=-1x2x+1

      Ainsi, f est la fonction définie sur l'intervalle 0+ par fx=-1x2x+1


    3. La courbe Cf ci-dessous, représente la fonction f dans le plan muni d'un repère orthogonal.
      Déterminer une équation de la tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse 1. La tracer sur le graphique.

      Une équation de la tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse 1 est :y=f1×x-1+f1Soity=-12×x-1+1y=-x2+32

      La tangente T à la courbe Cf au point au point d'abscisse 1 a pour équation y=-x2+32.


      Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      La droite T passe par les points de coordonnées 032 et 212



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