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\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
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  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Camille SEE\\Samedi 25 septembre 2010}}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{contrôle \no 1}}}}}
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES\\Durée 2 heures}}}
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}


\begin{document}

\exo \qquad (4 \textit{points} )

\medskip


\emph{Pour chacune des questions, une seule réponse parmi les trois est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie correspondante puis justifier cette réponse.} 

\emph{Chaque réponse exacte et justifiée rapportera 1 point. Une réponse fausse non justifiée enlève 0,5 point.}

\medskip

On donne le tableau de variation d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$


\begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(11,2.4)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(11,2.4) \psline(2,0)(2,2.4) \psline(0,1.6)(11,1.6)
\rput(1,2){$x$}\rput(2.4,2){$- \infty$} \rput(4.4,2){$-1$} \rput(6.4,2){$3$}\rput(10.4,2){$+ \infty$}
\rput(1,.8){$f(x)$} \rput(2.4,.3){\rnode{A}{$-\infty$}} \rput(6.4,1.3){\rnode{B}{$2$}} \rput(10.4,.3){\rnode{C}{{$-\infty$}}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncput*{0} \ncline{B}{C}
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}

\item L'équation $f(x)=0$ admet :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} 
A.\quad  une solution & B.\quad  deux solutions & C.\quad  trois solutions \\
\end{tabularx}

\medskip
	
\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$. On peut affirmer que :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} 
A.\quad  $f'(-2) \times f'(1) \leqslant 0$ & B.\quad  $f'(2) \times f'(5) \geqslant 0$ & C.\quad  $f'(4) \times f'(7) \geqslant 0$\\
\end{tabularx}
	
\medskip

\item On donne ci-dessous, la courbe représentative de la fonction $f$. Les droites $T$ et $T'$ sont tangentes à la courbe aux points d'abscisses respectives $-1$ et $1$.
\begin{center}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-6,-8)(10,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.0625*x^3*(4-x)+.3125}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-8)(10,5)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-4)(5,2.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](4.8,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,2.3){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2.24}{4.68}{\f}
\psline [linewidth=1pt, linecolor=prune](-2.5,-1.5)(.5,1.5)
\psline [linewidth=1pt, linecolor=prune](0,0)(3,1.5)
\uput[u](.6,1.4){\footnotesize{\prune{$T$}}}
\uput[ur](2.5,1.4){\footnotesize{\prune{$T'$}}}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} 
A.\quad  $f'(-1) = 0$ & B.\quad  $f'(-1) = 2 \times f'(1)$ & C.\quad  $f'(1) = 2 \times f'(-1)$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item	Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f'$. Déterminer laquelle.

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} 
A.\quad  courbe $\mathcal{C}_1$ & B.\quad  courbe $\mathcal{C}_2$ & C.\quad  courbe $\mathcal{C}_3$\\
{\psset{unit=.64cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(5,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x+1)^2*(3-x)/(x^2+1.5)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-3)(5,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-3,-3)(5,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](4.8,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,3.8){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3}{5}{\f}
\end{pspicture}}
 & {
\psset{unit=.64cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(5,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{-(x+.625)*(x-3)^2/(x^2+5)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-3)(5,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-3,-3)(5,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](4.8,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,3.8){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2.07}{5}{\f}
\end{pspicture}}
 &{
\psset{unit=.64cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(5,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.25*x^2*(3-x)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-3)(5,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-3,-3)(5,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](4.8,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,3.8){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.84}{3.84}{\f}
\end{pspicture}}\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\pagebreak

\exo \qquad (4 \textit{points} )

\medskip


Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes dérivables sur leur ensemble de définition :

\begin{enumerate}
	\item $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{1}{x^2+x+1}$
	\item $g$ est définie sur $]0;+\infty[$ par $g(x)=\left(1+\dfrac{2}{x^2}\right)^2$
\end{enumerate}

\bigskip

\exo \qquad (6 \textit{points} )

\medskip


\textsf{\textbf{{\textsc{partie a}}}}

\medskip

 
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies et dérivables pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0~;8]$ par : \[f(x) = \dfrac{x^2}{3}+1 \text{\: et \:} g(x) =  \dfrac{x^3}{27}- \dfrac{4x^2}{9}-x+18\] 


\begin{enumerate}
	\item Les courbes représentatives respectives $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ des fonctions $f$ et $g$, dans un repère orthogonal, sont tracées ci-dessous. Lire avec la précision permise par le graphique une valeur approchée des coordonnées de leur point d'intersection $E$.
	 \item Afin de déterminer les coordonnées du point $E$ de façon plus précise, on est amené à résoudre dans l'intervalle $]0~;8]$ l'équation $g(x) = f(x)$.
 
Pour cela, on considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle $]0~;8]$ par $h(x) = g(x) - f (x)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le sens de variation de la fonction $h$ sur l'intervalle $]0~;8]$.
		\item Démontrer que l'équation $h(x) = 0$ admet une solution unique $x_{0}$ dans l'intervalle $]0~;8]$. 
		\item \`A l'aide de la calculatrice, déterminer l'arrondi de $x_{0}$ au centième. 	
	\end{enumerate}		
\end{enumerate}
 \begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(34,23)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x^2/3+1}
\def\g{x^3/27-4*x^2/9-x+18}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(34,23)
\psset{xunit=2cm, yunit=.5cm}
\psaxes[labelsep=.75mm,ticksize=-2pt 2pt,linewidth=0.75pt,Dy=2]{->}(0,0)(-.05,-.2)(8.5,23)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](8.4,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,22.8){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{8}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{0}{8}{\g}
\uput[r](8,22.5){\small{\bleu{$\mathcal{C}_f$}}}
\uput[r](8,0.5){\small{\prune{$\mathcal{C}_g$}}}
\uput[u](4.52,7.82){\small{\red{$E$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\textsf{\textbf{{\textsc{partie b}}}}

\medskip
 
Les fonctions $f$ et $g$ définies dans la partie A modélisent respectivement l'offre et la demande d'un produit  :
\begin{itemize}
\item $f(x)$ est la quantité, exprimée en milliers d'articles, que les producteurs sont prêts à vendre au prix unitaire de $x$ centaines d'euros; 
\item  $g(x)$ la quantité, exprimée en milliers d'articles, que les consommateurs sont prêts à acheter au prix unitaire de $x$ centaines d'euros.
\end{itemize}

On appelle prix unitaire d'équilibre du marché la valeur de $x$ pour laquelle l'offre est égale à la demande.
 
\begin{enumerate}
\item Quel est, exprimé à l'euro près, le prix unitaire d'équilibre du marché ? 
\item  Quel nombre d'articles, (\emph{arrondi à la centaine d'articles près}), correspond à ce prix unitaire d'équilibre ? 
\end{enumerate}

\bigskip

\exo \qquad (6 \textit{points} )

\medskip


\begin{enumerate}
	\item Soit $u$ la fonction définie sur l'intervalle $]0;+\infty[$ par $u(x)=1+\dfrac{1}{x}$ . Calculer $u'(x)$.
	\item Soit $g$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $\left]0; +\infty \right[ $ . On note $g'$  la dérivée de la fonction $g$. 
	
	On sait que   $g(2)=1$  et pour tout réel $x>0$, $g'(x)=\dfrac{x-1}{x}$.
	
Donner le tableau des variations de la fonction $g$.

\item On considère la fonction $f$ définie sur $\left]0; +\infty \right[ $  par $f(x)=g\left[u(x)\right]$. 

On admet que $f$ est dérivable sur $\left]0; +\infty \right[ $ et on note $f'$  la dérivée de la fonction $f$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $f(1)$.
\item Calculer $f'(x)$. 
\item La courbe $\mathcal{C}_f$  ci-dessous représente la fonction $f$  dans le plan muni d'un repère orthogonal.

Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 1. La tracer sur le graphique ci-dessous.
\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(20,10)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{ln(2*x/(x+1))+1/x}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(20,10)
\psset{xunit=2cm, yunit=1cm}
\psaxes[labelsep=.75mm,ticksize=-2pt 2pt,linewidth=0.75pt]{->}(0,0)(-.1,-.2)(5,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](4.9,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,4.8){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{.157}{5}{\f}
\uput[u](4.8,.7){\small{\bleu{$\mathcal{C}_f$}}}

\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
