contrôle du 23 octobre 2010

Corrigé de l'exercice 3

Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left]-1;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x+6}{{\left(x+1\right)}^2}}-2$. On note $C_f$ sa courbe représentative et $f\prime$ la dérivée de la fonction f.

1. Calculer $\underset{x\to -1}{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$. Interpréter graphiquement les résultats.

   • $\underset{x\to -1}{\lim }2x+6=4$ et $\underset{x\to -1}{\lim }{\left(x+1\right)}^2=0^{+}$ alors par quotient des limites, $\underset{x\to -1}{\lim }{\displaystyle \frac{2x+6}{{\left(x+1\right)}^2}}=+\infty$. D'où $\underset{x\to -1}{\lim }{\displaystyle \frac{2x+6}{{\left(x+1\right)}^2}}-2=+\infty$.

     $\underset{x\to -1}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ donc la droite d'équation $x=-1$ est asymptote à la courbe $C_f$.

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   • $\underset{x\to +\infty }{\lim }2x+6=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(x+1\right)}^2=+\infty$. Nous sommes en présence de la forme indéterminée «${\displaystyle \frac{\infty }{\infty }}$ ».

     Or $$\begin{array}{ccccccccc}\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{2x+6}{{\left(x+1\right)}^2}}& =& \underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{2x+6}{x^2+2x+1}}& =& \underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{2x}{x^2}}& =& \underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{2}{x}}& =& 0\end{array}$$ D'où $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{2x+6}{{\left(x+1\right)}^2}}-2=-2$.

     $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-2$ donc la droite d'équation $y=-2$ est asymptote à la courbe $C_f$ en $+\infty$.

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2. Calculer la dérivée de la fonction f .

   Pour tout réel $x\in \left]-1;+\infty \right[$, posons $$\begin{array}{cccc}& u\left(x\right)=2x+6\hfill & \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=2\hfill \\ \text{et}& v\left(x\right)={\left(x+1\right)}^2\hfill & \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=2\left(x+1\right)\hfill \end{array}$$ Nous avons alors, $f={\displaystyle \frac{u}{v}}-2$ d'où $f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$.

   Soit pour tout réel $x\in \left]-1;+\infty \right[$$$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{2{\left(x+1\right)}^2-2\left(2x+6\right)\left(x+1\right)}{{\left(x+1\right)}^4}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{2\left(x+1\right)\left(x+1-2x-6\right)}{{\left(x+1\right)}^4}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{2\left(-x-5\right)}{{\left(x+1\right)}^3}}\hfill \end{array}$$

   Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left]-1;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{2\left(x+5\right)}{{\left(x+1\right)}^3}}$.

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3. Étudier les variations de la fonction f .

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. Étudions le signe de $f\prime \left(x\right)$ :

   Sur l'intervalle $\left]-1;+\infty \right[$, ${\left(x+1\right)}^3>0$. D'autre part, $-2\left(x+5\right)<0\iff x>-5$

   Ainsi, sur l'intervalle $\left]-1;+\infty \right[$, $f\prime \left(x\right)<0$ donc f est strictement décroissante.

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   x	−1				$+\infty$
   $f\prime \left(x\right)$			−
   $f\left(x\right)$			$+\infty$		−2

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4. Donner une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 1.

   Une équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 1 est :$$y=f\prime \left(1\right)\times \left(x-1\right)+f\left(1\right)$$

   Or $f\left(1\right)={\displaystyle \frac{2+6}{2^2}}-2=0$ et $f\prime \left(1\right)=-{\displaystyle \frac{12}{8}}=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$. D'où $$y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}\times \left(x-1\right)$$

   La tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 1 a pour équation $y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+{\displaystyle \frac{3}{2}}$

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5. 1. Résoudre sur l'intervalle $\left]-1;+\infty \right[$, l'inéquation ${\displaystyle \frac{2x+6}{{\left(x+1\right)}^2}}⩽\mathrm{0,1}$.

      Pour tout réel $x\ne -1$, $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{2x+6}{{\left(x+1\right)}^2}}⩽\mathrm{0,1}& \iff & {\displaystyle \frac{2x+6}{{\left(x+1\right)}^2}}-\mathrm{0,1}⩽0\hfill \\ & \iff & {\displaystyle \frac{2x+6-\mathrm{0,1}\times {\left(x+1\right)}^2}{{\left(x+1\right)}^2}}⩽0\hfill \\ & \iff & {\displaystyle \frac{-\mathrm{0,1}{x}^2+\mathrm{1,8}x+\mathrm{5,9}}{{\left(x+1\right)}^2}}⩽0\hfill \end{array}$$

      Pour tout réel $x\ne -1$, ${\left(x+1\right)}^2>0$ donc pour tout réel $x\ne -1$, le quotient ${\displaystyle \frac{-\mathrm{0,1}{x}^2+\mathrm{1,8}x+\mathrm{5,9}}{{\left(x+1\right)}^2}}$ est du même signe que le polynôme du second degré $-\mathrm{0,1}{x}^2+\mathrm{1,8}x+\mathrm{5,9}$ avec $a=-\mathrm{0,1}$, $b=\mathrm{1,8}$ et $c=\mathrm{5,9}$. Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=\mathrm{3,24}+\mathrm{2,36}=\mathrm{5,6}\end{array}$$

      $\mathrm{\Delta }>0$ donc le polynôme a deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{-\mathrm{1,8}-\sqrt{\mathrm{5,6}}}{-\mathrm{0,2}}}=9+10\sqrt{\mathrm{1,4}}\approx \mathrm{20,832}\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{-\mathrm{1,8}+\sqrt{\mathrm{5,6}}}{-\mathrm{0,2}}}=9-10\sqrt{\mathrm{1,4}}\approx -\mathrm{2,832}\end{array}$$

      Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. Nous pouvons déduire le tableau du signe du quotient ${\displaystyle \frac{-\mathrm{0,1}{x}^2+\mathrm{1,8}x+\mathrm{5,9}}{{\left(x+1\right)}^2}}$ sur l'intervalle $\left]-1;+\infty \right[$ :

      x	−1			$9+10\sqrt{\mathrm{1,4}}$		$+\infty$
      Signe de ${\displaystyle \frac{-\mathrm{0,1}{x}^2+\mathrm{1,8}x+\mathrm{5,9}}{{\left(x+1\right)}^2}}$			+	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	−

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      Sur l'intervalle $\left]-1;+\infty \right[$, l'ensemble solution de l'inéquation ${\displaystyle \frac{2x+6}{{\left(x+1\right)}^2}}⩽\mathrm{0,1}$ est $S=\left[9+10\sqrt{\mathrm{1,4}};+\infty \right[$

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   2. Sans utiliser la calculatrice, donner une valeur approchée au dixième près de $f\left(\sqrt{\mathrm{925,4378}}\right)$

      Pour tout réel $x>-3$, $\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{2x+6}{{\left(x+1\right)}^2}}>0& \iff & {\displaystyle \frac{2x+6}{{\left(x+1\right)}^2}}-2>-2\end{array}$.

      D'après la question précédente, si $x⩾9+10\sqrt{\mathrm{1,4}}$ alors ${\displaystyle \frac{2x+6}{{\left(x+1\right)}^2}}⩽\mathrm{0,1}$.

      Par conséquent, si $x⩾9+10\sqrt{\mathrm{1,4}}$ alors $-2<f\left(x\right)⩽-2+\mathrm{0,1}$ soit $-2<f\left(x\right)⩽-\mathrm{1,9}$

      Or $\sqrt{\mathrm{925,4378}}>30>9+10\sqrt{\mathrm{1,4}}$, nous pouvons conclure que :

      $-2$ ou $-\mathrm{1,9}$ sont des valeurs approchées au dixième près de $f\left(\sqrt{\mathrm{925,4378}}\right)$.

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