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\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
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\newcounter{nexo}    % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Camille SEE\\Samedi 27 novembre 2010}}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{contrôle \no 3}}}}}
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES 1\\Durée 2 heures}}}
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}


\begin{document}

\exo \qquad (6 \textit{points} )

\medskip


Le tableau suivant  donne le montant  (en milliards d'euros) de la dépense des ménages entre les années 2000 et  2009  dans le secteur \og biens de consommation \fg{} : 

\medskip


\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.8cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Année &  2000 &	2001 &	2002 &	2003 &	2004 &	2005 &	2006 &	2007 &	2008 &	2009 \\ \hline
Rang de l'année $x_i$ &	0  & 1	 &	2  &	3  &	4  &5  &6	  &	7  &8	  &	 9  \\ \hline
{Montant $y_{i}$} & 129,0 &	133,3 &	138,6 &	143,7 &	149,5 &	155,4 &	162,8 &	171,3 &	173,8 &	175,7\\ \hline
\multicolumn{11}{r}{\footnotesize{\textsf{(Source INSEE)}}}\\
\end{tabularx}

\medskip 
 
\textsf{\textbf{\textsc{partie a :}} Un ajustement affine}

\medskip 
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Tracer le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~ y_{i}\right)$ associé à cette série statistique dans le plan muni d'un repère orthogonal.

\medskip

		\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(20,14)
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5} 
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(20,14)
\psset{xunit=1cm, yunit=.1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Oy=120,Dy=10]{->}(0,0)(10,70)
\uput[d](10,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,70){\footnotesize{$y$}}
\end{pspicture}
\end{center}
		\item Déterminer les coordonnées du point moyen $G$ du nuage et placer $G$ sur le graphique.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item \`A l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement $D$  de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés (\emph{les coefficients seront arrondis au centième}).
		\item Tracer la droite $D$ sur le graphique.
	\end{enumerate} 
\item En utilisant cet ajustement, donner une estimation du montant (en milliards d'euros) de la dépense des ménages dans le secteur \og biens de consommation \fg{} que l'on peut prévoir pour 2010 (\emph{le résultat sera arrondi au dixième}). 
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie b :}}  Une autre estimation}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Dans cette question, les pourcentages seront arrondis à 0,01\% près
\begin{enumerate}
	\item Calculer le pourcentage d'évolution du montant de la dépense des ménages dans le secteur \og biens de consommation \fg{} entre 2007 et 2009.
	\item En déduire le pourcentage annuel moyen d'augmentation du montant de la dépense des ménages dans le secteur \og biens de consommation \fg{} entre 2007 et 2009.
\end{enumerate}

\item On suppose qu'en 2010 le montant de la dépense des ménages dans le secteur \og biens de consommation \fg{} augmente de 1,28\% par rapport à 2009.

Calculer le montant (en milliards d'euros) de la dépense des ménages dans le secteur \og biens de consommation \fg{} que l'on peut prévoir pour 2010 (\emph{le résultat sera arrondi au dixième})  

\end{enumerate}

\pagebreak

\exo \qquad (6 \textit{points} ))

\medskip

	\begin{enumerate}
	\item Dans chacun des cas suivants, calculer la primitive $F$ de la fonction $f$ qui vérifie la condition donnée.
	
\begin{enumerate}
	\item $f$  est définie sur $\R$   par $f(x)=x^3-5x+\dfrac{1}{2}$\:  et\: $F(1)=0$.
	\item $f$  est définie sur  $\left]-\dfrac{1}{4};+\infty\right[$   par $f(x)=\dfrac{2}{(1+4x)^2}$\:  et\: $F(0)=\dfrac{1}{2}$.
\end{enumerate}
	
	\item	Soit $F$ et $G$ les fonctions définies sur $\R$  par : $F(x)=\dfrac{2-x}{x^2+1}$ et $G(x)=\dfrac{x^2-x+3}{x^2+1}$
	
Montrer que $F$ et $G$ sont deux primitives sur $\R$ d'une même fonction $f$ que l'on précisera.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo \qquad (8 \textit{points} )

\medskip

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$. On sait que $f(2)=-4$ et que le signe de la fonction $f$  est donné par le tableau suivant :

	\medskip
	
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(11.5,2) 
\psframe(11.5,2) \psline(0,1.2)(11.5,1.2)\psline(2.5,0)(2.5,2) \psline[linewidth=.5pt](2.9,0)(2.9,1.2) \psline[linewidth=.5pt](3.1,0)(3.1,1.2)
\rput(1.25,1.6){$x$} \rput(3,1.6){$0$} \rput(7,1.6){$4$}  \rput(11,1.6){$+\infty$}
\rput(1.25,0.6){signe de $f(x)$} \rput(5,0.6){$-$} \pnode(7,1.2){a1}\pnode(7,0){a2}\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{a1}{a2}\ncput*{0} \rput(9,0.6){$+$} 	
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textsf{\textbf{{\textsc{partie a}}}}

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Soit $F$ la primitive de la fonction fonction $f$  sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ telle que $F(4)= \dfrac{1}{2}$. 
		
		On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $F$.

	\begin{enumerate}
			\item Donner le tableau de variations de la fonction $F$. 
	\item On suppose que la courbe $\mathcal{C}$ passe par le point $A(2;3)$. 
	
	Donner une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $A$.
\end{enumerate}
		
			\item Tracer la courbe représentative d'une fonction qui  satisfait les conditions obtenues à la question précédente, dans un repère orthonormé du plan. (\emph{Unités graphiques 1 cm sur chaque axe})
		 
Placer le point $A$ ainsi que le point d'abscisse 4 et tracer les tangentes à la courbe en ces points.

	 
	\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textbf{{\textsc{partie b}}}}

\medskip

$f$ est la fonction définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par $f(x)=1-\dfrac{12}{x^2}-\dfrac{16}{x^3}$
\begin{enumerate}
	\item 
\begin{enumerate}
	\item Calculer la primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ telle que $F(4)= \dfrac{1}{2}$.
	\item Vérifier que la tangente à la courbe représentative de la fonction $F$ au point d'abscisse 2 a pour équation $y=-4x+11$.
\end{enumerate}
\item Déterminer  $\displaystyle\lim_{x\to 0} F(x)$. Interpréter graphiquement le résultat.
\item
\begin{enumerate}
	\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} F(x)$.
	\item Montrer que la courbe représentative de la fonction $F$ admet pour asymptote la droite d'équation $y=x-7$.
\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\end{document}
