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\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
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\DecimalMathComma

\newcounter{nexo}    % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Camille SEE\\Samedi 15 Janvier 2011}}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{CONTRÔLE N° 4}}}}
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES\\Durée 2 heures}}}
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}


\begin{document}

\exo \qquad (3 \textit{points} )

\medskip

Simplifier l'écriture des nombres suivants :


$A=\ln\left( \sqrt{3} +\sqrt{2}\right)+\ln\left( \sqrt{3} -\sqrt{2}\right)$ ; \hfill $B=2\ln \sqrt{8}-3\ln\left(\dfrac{1}{4}\right)$ ; \hfill 	$C = \dfrac{\ln 100-2\ln 2}{\ln 5}$ ;  \hfill $D =\ln \left( 3 \e ^2 \right) - \ln \left(\dfrac{3}{\sqrt{\e}}\right)$

\bigskip

\exo \qquad (4 \textit{points} ) 

\medskip

\begin{enumerate}
	\item La population mondiale est passée à 6,9 milliards en 2010. Avec un taux de croissance annuel de 1,14\% , en quelle année la population mondiale dépassera-t-elle 9 milliards ?
	
	\item Selon une estimation,  le stock de thon rouge de l'Atlantique-Est diminue de 3,2\% par an. 
	
	Dans combien d'années le stock de thon rouge de l'Atlantique-Est aura-t-il diminué de plus de 50\% ?
\end{enumerate}

\bigskip
	
\exo \qquad (5 \textit{points} ) 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item	Résoudre les équations suivantes après avoir précisé dans chaque cas, l'ensemble de définition de l'équation :
\begin{enumerate}
	\item $\ln \left(1-2x\right)-\ln 2=\ln \left(x+1\right)+\ln 3$
		\item 2$\ln \left(x\right)+\ln 2=\ln \left(x+3\right)$
\end{enumerate}

\item  Résoudre dans l'intervalle $\left] 0 ; + \infty \right[$, l'inéquation $2 \left( \ln x\right)^2  + \ln x - 1 \geqslant 0$
\end{enumerate}

\bigskip
 
\exo \qquad (8 \textit{points} )

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $f(x)=2\ln \left( x\right) - \dfrac{x}{2}$  
et dont la courbe représentative $C_f$  est donnée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-8)(30,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{2*ln(x)-.5*x}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(0,-8)(30,6)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(0,-4)(15,3)
\uput[d](14.8,0){$x$} \uput[l](0,2.8){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0.14}{15}{\f}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
	\item Calculer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+ \infty$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$. 
			\item Donner le tableau des variations de $f$. On précisera la valeur exacte du maximum de $f$.
	\end{enumerate} 
	\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 1 et la tracer sur le graphique.
\item Donner le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$.

\item Application économique.

Une entreprise produit sur commande un article. La production quotidienne peut varier de 10 à  100 articles. Le bénéfice réalisé par cette production est modélisé par la fonction $f$ de la façon suivante : 

$f(x)$ est le montant, exprimé en milliers d'euros, du bénéfice réalisé par l'entreprise pour une production de $x$ dizaines d'articles.

\begin{enumerate}
\item Combien d'articles l'entreprise doit-elle produire par jour pour réaliser un bénéfice maximum ? Préciser alors ce bénéfice arrondi à l'euro près.
\item  Combien d'articles l'entreprise doit-elle produire par jour pour ne pas travailler à perte ?	
\end{enumerate}
\end{enumerate} 
\end{document}