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\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
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\newcommand{\Oijk}{\ensuremath{\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}} \right)}}
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\DecimalMathComma

\newcounter{nexo}    % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Camille SEE\\Samedi 5 Février 2011}}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{CONTRÔLE N° 5}}}}
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES\\Durée 3 heures}}}
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}


\begin{document}

\exo \qquad (7 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les élèves}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Le tableau ci-dessous indique l'évolution des effectifs d'étudiants en CPGE entre les années 2001-2002 et 2009-2010 :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année & 2001 2002 & 2002 2003 & 2003 2004 & 2004 2005 & 2005 2006 & 2006 2007 & 2007 2008 & 2008 2009 & 2009 2010 \\ \hline
Rang de l'année $x_{i}$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline
Effectifs $y_{i}$ & 70703 & 72015 & 72053 & 73147 & 74790 & 76160 & 78072 & 80003 & 81135 \\ \hline
\multicolumn{10}{r}{\scriptsize{\textsf{Source DEPP.}}}\\
\end{tabularx}

\medskip
 
On donne ci-dessous le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~ ;~y_{i}\right)$.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-2,0)(22,14)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(22,14)
\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,tickwidth=.25pt,tickcolor =darkgray, ticksize=-2pt 2pt,Dy=2, Oy=70,ylabelFactor={\ 000}]{->}(0,0)(11,14)
\uput[d](10.8,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,13.6){\footnotesize{$y$}}
\savedata{\nuage}[(1,.703)	(2,2.015)	(3,2.053)	(4,3.147)	(5,4.790)	(6,6.160)	(7,8.072)	(8,10.003)	(9,11.135)]
\dataplot[dotstyle=x,linecolor=bleu,plotstyle=dots,linewidth=2pt,dotscale=.8]{\nuage}
\end{pspicture}
\end{center} 

\emph{Le détail des calculs statistiques à effectuer à la calculatrice n'est pas demandé.}

\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du point moyen $G$ de ce nuage. Placer le point $G$ dans le repère précédent.
\item La forme du nuage permet d'envisager un ajustement affine. 
\begin{enumerate}
	\item \`A l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite $(D)$ d'ajustement de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à l'unité.
	\item Tracer la droite $(D)$ dans le repère précédent. 
\end{enumerate}
\item  En supposant que cet ajustement affine reste valable pour les deux années suivantes, estimer le pourcentage d'évolution du nombre d'étudiants inscrits en CPGE en 2011-2012 par rapport à 2009-2010. 

\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Le tableau ci-dessous  donne l'origine scolaire des étudiants entrant en première année de CPGE en 2009-2010 (en pourcentage) ainsi que les effectifs des nouveaux entrants en première année de CPGE en 2009-2010:

\medskip
{\small{
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}|c|}\cline{2-6}
\multicolumn{1}{c|}{} &\multicolumn{4}{c||}{Origine des étudiants en \%} & \multirow{2}{2.8cm}{Nouveaux entrants} \\ \cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{} & Term. S & Term. ES & Term. L & Autres &  \\  \hline
Filière scientifique & 95,2 & 0 & 0 & 4,8 & 23806 \\  \hline
Filière économique et commerciale & 47,3 & 42,2 & 0,7 & 9,8 & 10003 \\ \hline
Filière littéraire & 23 & 21,3 & 54,9 & 0,8 & 6654 \\ \hline
\multicolumn{6}{r}{\scriptsize{\textsf{Source DEPP.}}}\\
\end{tabularx}}
}
\medskip

On choisit au hasard le dossier informatisé d'un étudiant dans la liste des nouveaux entrants en première année de CPGE en 2009-2010 et on note :
\begin{itemize}
\item $E$ l'évènement : \og Le dossier choisi est celui d'un étudiant dont l'origine scolaire est la terminale ES \fg ; 
\item $C$ l'évènement : \og Le dossier choisi est celui d'un étudiant de la filière économique et commerciale \fg ; 
\item $L$ l'évènement : \og Le dossier choisi est celui d'un étudiant de la filière littéraire \fg .
\end{itemize}

\medskip

\emph{Les résultats des différents calculs seront donnés sous forme décimale arrondis au millième.}

\medskip
\begin{enumerate}
\item Calculer les probabilités $p(C)$ et $p(L)$.
\item 
\begin{enumerate}
	\item Le dossier choisi est celui d'un étudiant de la filière économique et commerciale. 
	
	Donner la probabilité notée $p_{C}(E)$ que ce soit le dossier d'un étudiant dont l'origine scolaire est la terminale ES.
	\item Définir par une phrase l'évènement $E \cap C$ puis calculer sa probabilité.
\end{enumerate}
	\item Montrer que la probabilité de choisir le dossier d'un étudiant dont l'origine scolaire est la terminale ES est 0,139. (\emph{valeur arrondie au millième près})
	\item Le dossier choisi est celui d'un étudiant dont l'origine scolaire est la terminale ES. 
	
	Calculer la probabilité que ce soit le dossier d'un étudiant de la filière économique et commerciale. 
\end{enumerate}

\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Élèves n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES}

\medskip


\emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des trois réponses proposées} a,~ b \emph{ou} c \emph{ est exacte}. 

\emph{Recopier sur la copie la question complétée par la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.} 

\emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse inexacte enlève $0,5$ point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note est ramenée à $0$.} 

\medskip
\begin{enumerate}
\item Avec une augmentation de la consommation  2\% par an d'un produit, dans 14 ans la consommation de ce produit aura augmenté de \ldots 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}}
a)\quad   28 \% & b)\quad  moins de 30 \% & c)\quad  plus de 30 \%\\
\end{tabularx}

\medskip

\item Avec une baisse de la consommation  2\% par an d'un produit,  la consommation de ce produit aura diminué d'au moins 30\%  dans  \ldots 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}}
a)\quad   14 ans &  b)\quad   15 ans & c)\quad    18 ans\\
\end{tabularx}

\medskip

\item  Si $a$ et $b$ sont deux réels strictement positifs alors, \ldots

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}}
a)\quad   $\dfrac{\ln a}{ \ln b} = \ln a - \ln b$  & b)\quad  $2 \ln a + \ln b = \ln \left(2ab \right)$  & c)\quad  $ \ln a -\dfrac{\ln b}{2} = \ln \left(\dfrac{a}{\sqrt {b}} \right)$ \\
\end{tabularx}

\medskip

	\item  Pour tout réel $x$ strictement positif, \ldots

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}}
a)\quad   $2\ln x - \ln \left( 2x \right) = 0$  & b)\quad   $\ln x - \ln \left( 2x \right) = \ln 0,5$  & c)\quad $\ln x - \ln \left( 2x \right) = -2$ \\
\end{tabularx}
\medskip
\item  La tangente à la courbe représentative de la fonction logarithme népérien au point d'abscisse $\e$ \ldots

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}}
a)\quad   passe par l'origine du repère  & b)\quad  a pour coefficient directeur 1  & c)\quad  a pour coefficient directeur $\e$ \\
\end{tabularx}	
\end{enumerate}

\pagebreak

\setcounter{nexo}{1}
\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Élèves ayant suivi l'enseignement de spécialité ES}

\medskip		

 On considère le graphe suivant :

 \begin{center}
\psset{xunit=2cm, yunit=1.5cm}
\begin{pspicture*}(-.25,-.5)(4.25,2.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{linewidth=1pt,linecolor=bleu}
\psset{linewidth=1pt,linecolor=bleu,dotstyle=Bo,dotsize=5pt}
\dotnode(0,1){A} \dotnode(1,2){B} \dotnode(2,2){C} \dotnode(3,2){D} \dotnode(4,1){E} \dotnode(3,0){F} \dotnode(2,0){G}  \dotnode(1,0){H} 
\ncline{B}{A} \ncline{A}{H}\ncline{H}{G}\ncline{G}{F}\ncline{F}{E} \ncline{E}{D}\ncline{D}{C} \ncline{C}{B}\ncline{B}{G} \ncline{G}{D}\ncline{D}{A} \ncline{A}{E} \ncline{E}{H}\ncline{H}{C}\ncline{C}{F}
\uput[l](0,1){\small {\bleu {A}}} \uput[u](1,2){\small {\bleu {B}}} \uput[u](2,2){\small {\bleu {C}}} \uput[u](3,2){\small {\bleu {D}}} \uput[r](4,1){\small {\bleu {E}}} \uput[d](3,0){\small {\bleu {F}}} \uput[d](2,0){\small {\bleu {G}}} \uput[d](1,0){\small {\bleu {H}}} 
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Le graphe est-il connexe ? 
\item  Le graphe admet-il des chaînes eulériennes ? Si oui,  en préciser une. 
\item Justifier la non-existence d'un cycle eulérien pour le graphe . Quelle arête peut-on alors ajouter à ce graphe pour obtenir un graphe contenant un cycle eulérien ?
\item  Soit $M$ la matrice  associée à ce graphe (les sommets sont pris dans l'ordre 
alphabétique).  

On donne 
\renewcommand{\arraystretch}{1}$M^3 = \begin{pmatrix*}[r]
4 & 10 & 3 & 12 & 7 & 8 & 3 & 12 \\ 
10 & 0 & 11 & 1 & 8 & 1 & 11 & 1 \\ 
3 & 11 & 0 & 14 & 3 & 11 & 0 & 14 \\ 
12 & 1 & 14 & 2 & 12 & 1 & 14 & 2 \\ 
7 & 8 & 3 & 12 & 4 & 10 & 3 & 12 \\ 
8 & 1 & 11 & 1 & 10 & 0 & 11 & 1 \\ 
3 & 11 & 0 & 14 & 3 & 11 & 0 & 14 \\ 
12 & 1 & 14 & 2 & 12 & 1 & 14 & 2 \\ 
\end{pmatrix*}$
 
\medskip

Déterminer le nombre de chaînes de longueur 3 partant du sommet G et aboutissant au sommet E. 

Citer alors  toutes ces chaînes.   
\item  Donner un encadrement du nombre chromatique $\mathcal{X} $ du graphe. 

Déterminer ce nombre chromatique, en explicitant clairement la démarche. 
  
\end{enumerate}

\pagebreak

 \exo \qquad ( 8 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les élèves}

\medskip


On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\left]0; +\infty\right[$ dont on donne la représentation graphique $C_f$ dans le repère ci-dessous.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-4)(20,10)
\newgray{gray}{.75}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(ln(x))^2-2*ln(x)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-4)(20,10)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-0.5,-2)(10,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](9.8,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,4.8){\footnotesize{$y$}}
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune, linestyle= dashed](2.718282,0)(2.718282,-1)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{.234}{10}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-.5,3)(2,-2)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](1.7,-1)(3.8,-1)
\uput[d](2.718,0){\footnotesize{$\e$}}
\uput[d](0.6,5){\bleu $C_f$}
\uput[u](2.1,-2){\prune $T$}
\psdots[linecolor=bleu,dotscale=.8,dotstyle=Bo](1,0)
\uput[ur](1,0){\bleu \footnotesize{$A$}}
\psdots[linecolor=bleu,dotscale=.8,dotstyle=Bo](2.718282,-1)
\uput[d](2.718282,-1){\bleu \footnotesize{$B$}}
\psdots[linecolor=bleu,dotscale=.8,dotstyle=Bo](7.389,0)
\uput[u](7.389,0){\bleu \footnotesize{$C$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip


\textbf{\textsc{\textsf{partie a}}}

\medskip 

Dans cette partie , on admet que :
\begin{itemize}
\item  la courbe $C_f$ coupe l'axe des abscisses en deux points $A$ et $C$ ;
\item la droite $T$ est tangente  en $A$ à la courbe $C_f$ ;
\item la courbe $C_f$ admet une tangente horizontale au point $B$ d'abscisse $\e$.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Avec la précision permise par le graphique, donner les valeurs de $f(1)$, $f'(1)$, et $f'(\e )$, où $f'$ est la fonction dérivée de $f$ sur $\left]0; +\infty\right[$.
\item Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f'$ et une autre d'une primitive $F$ de la fonction $f$. Déterminer la courbe associée à la fonction $f'$ et celle qui est associée à  la fonction $F$. 

\psset{unit=.475cm}
\begin{pspicture}(-1,-4)(10,3.5)
\rput(4.5,3){\textsf{{\footnotesize{Courbe $C_1$}}}}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{2*ln(x)-(ln(x))^2}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-4)(10,2)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-1,-4)(10,2)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{.28}{10}{\f}
\uput[dl](0,0){\scriptsize{O}}
\uput[d](9.8,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,1.7){\footnotesize{$y$}}
\end{pspicture}\hfill
\psset{unit=.475cm}
\begin{pspicture}(-1,-5)(10,2.5)
\rput(4.5,2){\textsf{{\footnotesize{Courbe $C_2$}}}}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{(2*ln(x)-2)/x}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-5)(10,1)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-1,-5)(10,1)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{.6}{10}{\f}
\uput[dl](0,0){\scriptsize{O}}
\uput[d](9.8,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,.7){\footnotesize{$y$}}
\end{pspicture}\hfill
\psset{unit=.475cm}
\begin{pspicture}(-1,-3)(10,4.5)
\rput(4.5,4){\textsf{{\footnotesize{Courbe $C_3$}}}}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{x*((ln(x))^2-4*ln(x)+4)-Euler}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-3)(10,3)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-1,-3)(10,3)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{.001}{10}{\f}
\uput[dl](0,0){\scriptsize{O}}
\uput[d](9.8,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,2.7){\footnotesize{$y$}}
\end{pspicture}\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{\textsf{partie b}}}

\medskip 
Dans cette partie, on admet que la fonction $f$ représentée ci-dessus est définie pour tout réel $x$ appartenant à $]0;+\infty[$ par :
\[f(x)=\left( \ln (x) \right) ^2-2\ln (x) \]
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $f(x) = 0$.
\item 
\begin{enumerate}
	\item \'Etudier la limite de $f$ en $+ \infty$.
	\item Justifier que l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe représentative de $f$.
\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$.
		\item \'Etudier les variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
	\item Soit $F$ la primitive de la fonction $f$ telle que $F(\e) = - \e$. Donner une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $F$ au point d'abscisse $\e$.
	\end{enumerate}

\end{document}