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\newcounter{nexo}    % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Camille SEE\\ Mardi 01 mars  2011}}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{bac blanc : épreuve de mathématiques}}}}}
\rhead{\footnotesize{\textsf{Série ES\\Durée 3 heures}}}
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}


\begin{document}

\exo \qquad (5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les élèves}

\medskip

Les deux tableaux ci-dessous sont extraits d'une étude de la DEPP sur le devenir un an après des entrants en 1\textsuperscript{re} année de 1\textsuperscript{er} cycle universitaire en Droit Sciences \'Economiques et AES.

\begin{center}
\textsf{\textbf{\textsc{tableau 1 : }} Répartition, par discipline, des nouveaux entrants à l'université  à la rentrée 2008} 

\medskip

\begin{tabularx}{.5\linewidth}{|m{5.7cm}|>{\raggedleft \arraybackslash}X@{\quad}|}\hline
Disciplines &\multicolumn{1}{c|}{Effectifs} \\  \hline
Droit & 34 650\\  \hline
Sciences \'Economiques (hors AES) &17 650\\  \hline
AES & 9 450\\  \hline
\multicolumn{1}{r|}{Total} & 61 750\\  \cline{2-2}
\end{tabularx}

\bigskip

\textsf{\textbf{\textsc{tableau 2 : }} Devenir, à la rentrée universitaire de 2009, des entrants de 2008 (en \%)} 

 \medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.7cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{} & \footnotesize{Poursuite dans la même discipline}  & \footnotesize{Réorientation vers une autre filière universitaire}  & \footnotesize{Non réinscription à l'université} & \footnotesize{Total}\\  \hline
Droit & 68,3 & 9,2 & 22,5  & 100\\  \hline
Sciences \'Economiques (hors AES)  & 59,3 & 10,3 & 30,4 & 100\\  \hline
AES & 50,5 & 14,2 & 35,3 & 100 \\  \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

On choisit de manière aléatoire un étudiant parmi les nouveaux entrants de la rentée 2008 dans ces trois disciplines et on note :

\begin{itemize}
\item $D$ l'évènement : \og l'étudiant était inscrit en Droit \fg ; 
\item $E$ l'évènement : \og l'étudiant était inscrit en  Sciences \'Economiques \fg ; 
\item $A$ l'évènement : \og l'étudiant était inscrit en  AES\fg .
\item $S$ l'évènement : \og l'étudiant poursuit ses études dans la même discipline à la rentrée 2009 \fg ;
\item $U$ l'évènement : \og l'étudiant s'est réorienté vers une autre filière universitaire à la rentrée 2009 \fg ;
\item $N$ l'évènement : \og l'étudiant ne s'est pas réinscrit à l'université à la rentrée 2009 \fg .
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item 
\begin{enumerate}
	\item Justifier à l'aide des données des tableaux toutes les probabilités figurant dans l'arbre pondéré  ci-dessous : 
\smallskip
	\begin{center}
\psset{unit=.7cm}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{linewidth=.75pt,linecolor=bleu}
\pstree[treemode=R,levelsep=3cm,treesep=.5,npos=0.6,nrot=:U]{\TR{}}
{\pstree{\TR{\bleu $\; D \;$}\naput{\footnotesize{0,561}}}
	{\TR{\bleu $\; S$}\naput{\footnotesize{0,683}}
	\TR{\bleu $\; U$}
	\TR{\bleu $\; N$}\nbput{\footnotesize{0,225}}
	}
\pstree{\TR{\bleu $\; E \;$}\naput{\footnotesize{0,286}}}
	{\TR{\bleu $\; S$}\naput{\footnotesize{0,593}}
	\TR{\bleu $\; U$}
	\TR{\bleu $\; N$}
	}
	\pstree{\TR{\bleu $\; A \;$}}
	{\TR{\bleu $\; S$}
	\TR{\bleu $\; U$}
	\TR{\bleu $\; N$}
	}
}
\end{center}
\smallskip
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré pour qu'il traduise les données de l'expérience aléatoire décrite dans l'énoncé.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que l'étudiant choisi se soit inscrit en droit à la rentrée 2008 et qu'il poursuive ses études dans la même discipline à la rentrée 2009.
\item Calculer la probabilité de l'évènement $S$.
\end{enumerate}
\item L'étudiant choisi poursuit à la rentrée 2009 ses études dans la même discipline qu'en 2008.

Quelle est la probabilité qu'il se soit inscrit en Sciences \'Economiques ?

\item \emph {Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

L'étudiant choisi ne s'est pas réinscrit à l'université à la rentrée 2009. 

Quelle est la probabilité qu'il ait été inscrit en 2008 en Sciences \'Economiques ?
\end{enumerate}

\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Élèves n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES}

\medskip


Le tableau ci-dessous donne le montant en milliards d'euros de l'encours des crédits aux ménages (encours en fin d'année). 

\medskip


\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{6cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année &  2000 & 2001 & 2002 & 2003 & 2004 & 2005 & 2006 & 2007 & 2008 \\ \hline
Rang $x_{i}$ &0 & 1 & 2  & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ \hline
Montant de l'encours des crédits $y_{i}$ & 482,5 & 508,9 & 541,8 & 580,5 & 639,5 & 712,9 & 792,7 & 877,1 & 940,1 \\ \hline
\multicolumn{10}{r}{\footnotesize{\textsf{Source : INSEE}}}\\
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le pourcentage d'évolution de l'encours des crédits aux ménages entre les années 2000 et 2008. (On donnera une valeur arrondie au dixième). 
\item Représenter le nuage de points associé à la série $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans le repère du plan ci-dessous. 
\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(22,16)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(22,16)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,tickwidth=.25pt,tickcolor =darkgray, ticksize=-2pt 2pt, Oy=4,ylabelFactor={00}]{->}(0,0)(11,8)
\uput[d](10.8,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,7.8){\footnotesize{$y$}}
\end{pspicture}
\end{center} 
\item	\begin{enumerate}
		\item  Pourquoi un ajustement affine du nuage de points est-il justifié ? 
	\item Déterminer une équation de la droite $(D)$ d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au dixième près. 
	\item Représenter la droite $(D)$ dans le repère précédent. 
	\item En admettant que le modèle précédent est valable pour les années suivantes, calculer le montant en milliards d'euros de l'encours des crédits aux ménages en 2010.
	\end{enumerate} 
\item On a constaté que le montant de l'encours des crédits aux ménages a augmenté en moyenne de 5,6 \% par an entre 2008 et 2010.
 
Avec ce deuxième modèle, calculer le montant de l'encours des crédits aux ménages en 2010 (valeur arrondie au dixième). 

\item Pour chacun des modèles précédents, déterminer à partir de quelle année le montant de l'encours des crédits aux ménages dépassera 1 200 milliards d'euros. 
\end{enumerate}

\pagebreak

\setcounter{nexo}{1}
\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Élèves ayant suivi l'enseignement de spécialité ES}

\medskip		
 
 On considère le graphe suivant :

 \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-.5,-.5)(12.5,6.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{linewidth=1pt,linecolor=bleu}
\cnodeput(2.5,0){A}{\small {\bleu {A}}} \cnodeput(7.5,4){B}{\small {\bleu {B}}} \cnodeput(3.5,4.2){C}{\small {\bleu {C}}} \cnodeput(0,6){D}{\small {\bleu {D}}} \cnodeput(6.8,1.5){E} {\small {\bleu {E}}}\cnodeput(12,0){F}{\small {\bleu {F}}} \cnodeput(9.5,6){G}{\small {\bleu {G}}}  
\ncline{C}{E} \ncline{E}{B}\ncline{B}{A}\ncline{A}{F}\ncline{F}{G} \ncline{G}{C}\ncline{C}{A} \ncline{A}{D}\ncline{D}{G} \ncline{G}{B}\ncline{B}{F} \ncline{F}{E} 
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Existe-t-il des chaînes de longueur 2 partant du sommet $A$ et aboutissant au sommet $C$ ? 
\item  Le graphe admet-il des chaînes eulériennes ? Si oui,  en préciser une. 
\item  
\begin{enumerate}
	\item Donner un encadrement du nombre chromatique $X$ du graphe. 
	\item Déterminer ce nombre chromatique, en explicitant clairement la démarche.
\end{enumerate}
 
\item Le graphe pondéré ci-dessous, donne en minutes, les durées moyennes des parcours entre $A$ et $C$ en tenant compte des sens uniques.

   \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-.5,-.5)(12.5,6.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{linewidth=1pt,linecolor=bleu, arrowscale=2}
\cnodeput(2.5,0){A}{\small {\bleu {A}}} \cnodeput(7.5,4){B}{\small {\bleu {B}}} \cnodeput(3.5,4.2){C}{\small {\bleu {C}}} \cnodeput(0,6){D}{\small {\bleu {D}}} \cnodeput(6.8,1.5){E} {\small {\bleu {E}}}\cnodeput(12,0){F}{\small {\bleu {F}}} \cnodeput(9.5,6){G}{\small {\bleu {G}}}

\ncline{->}{A}{B}\mput*{\footnotesize{\textsf{28}}}
\ncline{->}{A}{D}\mput*{\footnotesize{\textsf{19}}}
\ncline{->}{A}{F}\mput*{\footnotesize{\textsf{10}}}
\ncline{->}{B}{G}\mput*{\footnotesize{\textsf{7}}}
\ncline{->}{C}{A}\mput*{\footnotesize{\textsf{38}}}
\ncline{->}{D}{G}\mput*{\footnotesize{\textsf{18}}} 
\ncline{->}{E}{B}\mput*{\footnotesize{\textsf{6}}}
\ncline{->}{E}{C}\mput*{\footnotesize{\textsf{27}}}
\ncline{->}{F}{B}\mput*{\footnotesize{\textsf{19}}}
\ncline{->}{F}{E}\mput*{\footnotesize{\textsf{11}}}
\ncline{->}{F}{G}\mput*{\footnotesize{\textsf{27}}}
\ncline{->}{G}{C}\mput*{\footnotesize{\textsf{8}}}
\end{pspicture*}
\end{center}

Un automobiliste doit se rendre de $A$ à $C$. En utilisant un algorithme, déterminer  le trajet le plus rapide pour aller de $A$ à $C$. 

Le retour sera-t-il plus rapide que l'aller ?
\end{enumerate} 

\pagebreak

 \exo \qquad ( 8 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les élèves}

\medskip

\emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des trois propositions est exacte}. 

\emph{Recopier sur la copie la question complétée par la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.} 

\emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse inexacte enlève $0,5$ point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note est ramenée à $0$.} 

\medskip
\begin{enumerate}
\item L'ensemble solution de l'équation $\ln \left( x^2 \right) -1 = 0$ est \ldots 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{{\footnotesize{\textbullet}}\quad}X}}
$S= \left\{ -1 ; 1\right\}$ &  $S= \left\{ -\sqrt{\e} ; \sqrt {\e} \right\}$ & $S= \left\{ \sqrt {\e} \right\}$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item L'ensemble solution de l'équation $\left( \ln x \right)^2 -1 = 0$ est \ldots  

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{{\footnotesize{\textbullet}}\quad}X}}
$S= \left\{ \dfrac{1}{\e} ; \e \right\}$ & $S= \left\{ -\sqrt{\e} ; \sqrt {\e} \right\}$ & $S= \left\{ \e \right\}$ \\
\end{tabularx}

\medskip

\item  La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \ln \left( x^2 +1 \right)$  \ldots

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{{\footnotesize{\textbullet}}\quad}X}}
est croissante   & est monotone  & vérifie $f'(1) = 1$    \\
\end{tabularx}

\medskip

\item  La tangente à la courbe représentative de la fonction logarithme népérien au point d'abscisse $\e$ \ldots 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{{\footnotesize{\textbullet}}\quad}X}}
passe par l'origine du repère &  a pour coefficient directeur 1  & a pour coefficient directeur $\e$  \\
\end{tabularx}

\medskip


	\item La fonction $f$ définie sur $] 0 ; + \infty [$ par $f(x) = \dfrac{3}{x}- \dfrac{1}{x^2}$ est la dérivée d'une fonction $F$ définie pour tout réel  $x$ strictement positif  par  \ldots

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{{\footnotesize{\textbullet}}\quad}X}}
$F(x) = 3\ln \left( x \right) -\ln \left( x^2 \right)  $  & $F(x)=\ln \left( x^3 \right) +  \dfrac{1}{x}$  & $F(x) = 3\ln \left( x \right) - \dfrac{1}{x}$ \\
\end{tabularx}
\end{enumerate}

 \pagebreak

 \exo \qquad ( 8 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les élèves}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $f(x)=\ln \left( \dfrac{x^2}{4}\right)+ \dfrac{8}{x}-2$. 

Sa courbe représentative notée $C_f$  est donnée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(28,16)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{ln(x^2/4)+8/x-2}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-1)(28,16)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-.5)(14,8)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}} \uput[l](0,7.8){$y$}\uput[d](13.8,0){$x$} \uput[l](0,7.8){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0.65}{14}{\f}
\uput[r](13.2,2.8){\bleu $C_f$}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
	\item \'Etudier la limite de $f$ en $+ \infty$.
	\item Montrer que pour tout réel $x > 0$, $f(x)=\dfrac{1}{x} \times \left[ 2x\ln \left( x\right)-2x\left( 1+\ln 2 \right) +8 \right]$.
	
	En déduire que l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe représentative de $f$.
\end{enumerate}

\item
	\begin{enumerate}
		\item  On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$. 
			\item Donner le tableau des variations de $f$. On précisera la valeur exacte du minimum de $f$.
	\end{enumerate} 
	\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 2 et la tracer sur le graphique.
\item Donner le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 2$.

\end{enumerate} 
\end{document}