contrôles en terminale ES

contrôle du 26 mars 2011

Corrigé de l'exercice 4

Soit f la fonction définie sur l'intervalle $[0; 9]$ par $f (x) = 3 x - \frac{x^{2}}{3}$ et $C_{f}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal.

L'objet de cet exercice est de déterminer l'abscisse a du point M de la parabole $C_{f}$ telle que l'aire du triangle hachuré soit égale à la moitié de l'aire du domaine délimité par la courbe $C_{f}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = a$ .

Quelle est l'ordonnée du point M de la parabole $C_{f}$ d'abscisse a ? En déduire l'aire T en fonction de a du triangle hachuré.
Le point $M (a; f (a))$ avec $f (a) = 3 a - \frac{a^{2}}{3}$ est un point de la parabole $C_{f}$ .
Comme $a \in [0; 9]$ , l'aire T exprimée en unités d'aire du triangle hachuré est : $T = \frac{a \times (3 a - \frac{a^{2}}{3})}{2} = \frac{3 a^{2}}{2} - \frac{a^{3}}{6}$
Exprimée en unités d'aire, l'aire du triangle hachuré est $T = \frac{3 a^{2}}{2} - \frac{a^{3}}{6}$ .
Exprimer l'aire A en fonction de a du domaine délimité par la courbe $C_{f}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = a$ .
Sur l'intervalle $[0; 9]$ la courbe $C_{f}$ est au dessus de l'axe des abscisses. Par conséquent, l'aire A exprimée en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe $C_{f}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = a$ est $\begin{matrix} A & = & \int_{0}^{a} 3 x - \frac{x^{2}}{3} d x & = & {[\frac{3 x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{9}]}_{0}^{a} & = & \frac{3 a^{2}}{2} - \frac{a^{3}}{9} \end{matrix}$
Exprimée en unités d'aire, l'aire du domaine délimité par la courbe $C_{f}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = a$ est $A = \frac{3 a^{2}}{2} - \frac{a^{3}}{9}$ .
Déterminer a pour que $A = 2 T$
$A = 2 T$ pour le réel $a \in [0; 9]$ solution de l'équation $\begin{matrix} \frac{3 a^{2}}{2} - \frac{a^{3}}{9} = 2 \times (\frac{3 a^{2}}{2} - \frac{a^{3}}{6}) & \Leftrightarrow & \frac{2 a^{3}}{9} - \frac{3 a^{2}}{2} = 0 \\ \Leftrightarrow & \frac{4 a^{3} - 27 a^{2}}{18} = 0 \\ \Leftrightarrow & \frac{a^{2} (4 a - 27)}{18} = 0 \end{matrix}$
Soit $a = \frac{27}{4} = 6,75$ ou $a = 0$ (solution triviale $A = T = 0$ )
Si $a = 6,75$ alors, l'aire du triangle hachuré est égale à la moitié de l'aire du domaine délimité par la courbe $C_{f}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = a$ .

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