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  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Camille SEE\\ Samedi 26 mars  2011}}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{contrôle \no 7}}}}}
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES 1}}}%droit
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}


\begin{document}

\exo \qquad (5 \textit{points} )

\medskip

\textsc{\textbf{\textsf{partie a}}}

\medskip

Une urne contient six boules rouges et quatre boules blanches indiscernables au toucher. On tire successivement et sans remise, deux boules dans cette urne.  

On note $R$ l'évènement {\og la boule tirée est rouge\fg} et  $B$ l'évènement {\og la boule tirée est blanche \fg}
\begin{enumerate}
	\item Recopier et compléter l'arbre probabiliste modélisant la situation :
	\begin{center}
\psset{arrows=-,treesep=0.8cm,levelsep=3cm}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.2 .5}
\pstree[linecolor=bleu,treemode=R]{\Tc*{0mm}}{
\pstree{\TR{ \bleu{$B$ }}}{ \TR{\bleu{ $B$}} \TR{\bleu{ $R$}}}
\pstree{\TR{ \bleu{ $R$ }}}{ \TR{\bleu{ $B$}}\TR{\bleu{ $R$}}}
}
\end{center}

	\item Calculer la probabilité de tirer deux boules blanches.
	\item Montrer que la probabilité de tirer deux boules de même couleur est égale à $\dfrac{7}{15}$.
	\item Les deux boules sont de la même couleur, quelle est la probabilité qu'elles soient blanches  ?
	\item On répète plusieurs fois l'expérience consistant à tirer les deux boules dans l'urne. \`A la fin de chaque tirage, les deux boules sont remises dans l'urne.
	
	Quel est le nombre minimal de tirages qu'il faut faire pour que la probabilité d'obtenir au moins une fois deux boules de la même couleur soit supérieure à 0,9 ?
\end{enumerate}

\medskip

\textsc{\textbf{\textsf{partie b}}}

\medskip

\`A l'occasion d'une fête, on organise avec cette urne un jeu de hasard selon la règle suivante : 

Chaque joueur tire successivement deux boules dans l'urne. Si les deux boules ne sont pas de la même couleur, le joueur perd sa mise ; si les deux boules sont rouges, le joueur récupère sa mise et si les deux boules sont blanches, il reçoit une somme égale au double de sa mise.

\`A la fin de chaque partie, les deux boules sont remises dans l'urne.

\medskip

Soit $x$ le montant en euros qu'il faut payer pour participer à ce jeu.  L'ensemble des gains algébriques de l'organisateur est $G= \{ -x ; 0 ; x\}$

\medskip

L'organisateur de ce jeu espère gagner en moyenne 2 \euro{} par partie jouée. \`A combien doit-il fixer le montant de la participation ?

 \bigskip  
 
\exo  \qquad  ( 4 \textit{points} )

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)= \ln\left(x^2 -2x +5 \right)$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans le plan. 

\begin{enumerate}
	\item \'Etudier les limites de la fonction $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$
	\item \'Etudier les variations de la fonction $f$.
	\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 3.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo  \qquad  ( 3 \textit{points} )

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{x}{2} -\dfrac{2}{x}$ sur l'intervalle $[1;3]$
	\item Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{x^2}{4} +\dfrac{2}{x^2}$ sur l'intervalle $[-3;-1]$
\end{enumerate} 

\pagebreak

\exo  \qquad  ( 4 \textit{points} )

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0;9]$ par $f(x)= 3x -\dfrac{x^2}{3}$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal. 

 \begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(20,8)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x*(9-x)/3}
\psset{xunit=1cm, yunit =.5cm}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{0}{6.75}{\f} \gsave
\psline(6.75,0)(0,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb] \grestore }
\psset{unit=.5cm}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(20,8)
\psset{xunit=1cm, yunit =.5cm}
\pspolygon[linewidth=.75pt, linecolor=prune,fillstyle=vlines,hatchcolor=prune,hatchwidth=.25pt,hatchsep=6pt,fillcolor=grisb](0,0)(6.75,5.0625)(6.75,0)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(10,8)
\uput[d](9.8,0){$x$} \uput[l](0,21.5){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=300,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{9}{\f}
\uput[ur](9,0){\small{\bleu{$C_{f}$}}}
\uput[d](6.75,0){\small{\prune{$a$}}}
\uput[u](6.75,5.1){\small{\bleu{$M$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

L'objet de cet exercice est de déterminer l'abscisse $a$ du point $M$ de la parabole $\mathcal{C}_f$ telle que l'aire du triangle hachuré soit égale à la moitié de l'aire du domaine délimité par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$  et  $x = a$.

\begin{enumerate}
	\item Quelle est l'ordonnée du point $M$ de la parabole $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $a$ ? En déduire l'aire $T$ en fonction de $a$ du triangle hachuré.
	\item Exprimer l'aire $A$ en fonction de $a$ du domaine délimité par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$  et  $x = a$.
	\item Déterminer $a$ pour que $A=2T$.
\end{enumerate}
 
 \bigskip 

  \exo  \qquad  ( 4 \textit{points} )
  
\medskip

La courbe $\mathcal{C}_f$ tracée ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie sur $\left[0;+\infty\right[$. 

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(32,12)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{2*x/(x^2+1)}
\psset{xunit=5cm, yunit =5cm}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{1}{2}{\f} \gsave
\psline(2,0)(1,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb] \grestore }
\psset{unit=.5cm}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(32,12)
\psset{unit =5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=0.2,comma]{->}(0,0)(3.2,1.2)
\uput[d](3.18,0){$x$} \uput[l](0,1.18){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=300,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{3.2}{\f}
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune](1,0)(1,1)
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune](2,0)(2,.8)
\uput[ul](3.2,.58){\small{\bleu{$C_{f}$}}}
\end{pspicture}

(\emph{unités graphiques : 5 cm sur chaque axe})

\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement  une valeur approchée au dixième près de $\displaystyle\int_{1}^{2} {f(x) \dd x}$.
	\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $\left[0;+\infty\right[$ et par $F$ une primitive de $f$ sur $\left[0;+\infty\right[$. 
	
	Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f'$ et une autre de la fonction $F$. Déterminer la courbe associée à la fonction $f'$ et celle qui est associée à  la fonction $F$. 

{\psset{unit=0.4cm} 
\begin{pspicture}(-1,-2)(10,14)
\rput(4.5,13){\textsf{Courbe 1}}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{(2-2*x^2)/(x^2+1)^2}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-1,-2)(10,12)
\psset{xunit=.8cm,yunit=2cm} 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-.4)(5,2.4)
\uput[dl](0,0){\scriptsize {0}}
\uput[d](4.8,0){\footnotesize{$x$}} \uput[l](0,2.3){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1pt, linecolor=prune]{0}{5}{\f}
\end{pspicture}}\hfill
{\psset{unit=0.4cm} 
\begin{pspicture}(-1,-3)(10,13)
\rput(4.5,12){\textsf{Courbe 2}}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{2.5*x*(4-x)/(x^2+2)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-1,-3)(10,11)
\psset{xunit=.8cm,yunit=1.6cm} 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-.75)(5,2.75)
\uput[dl](0,0){\scriptsize {0}}
\uput[d](4.8,0){\footnotesize{$x$}} \uput[l](0,2.6){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1pt, linecolor=prune]{0}{5}{\f}
\end{pspicture}}\hfill
{\psset{unit=0.4cm} 
\begin{pspicture}(-1,-3)(10,13)
\rput(4.5,12){\textsf{Courbe 3}}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{ln(.5*(x^2+1))}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-1,-3)(10,11)
\psset{xunit=.8cm,yunit=1.6cm} 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-.75)(5,2.75)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\uput[d](4.8,0){\footnotesize{$x$}} \uput[l](0,2.6){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1pt, linecolor=prune]{0}{5}{\f}
\end{pspicture}}

\medskip

\item La fonction $f$ est définie sur $\left[0;+\infty\right[$ par $f(x)= \dfrac{2x}{x^2+1}$

Calculer l'aire, en $\mathrm{cm}^2$, du domaine délimité par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$  et  $x = 2$.

\end{enumerate}

 \end{document}