contrôle du 24 septembre 2011

exercice 1

La courbe $C_f$ ci-dessous représente une fonction f définie et dérivable sur $ℝ$. On note $f\prime$ la fonction dérivée de la fonction f . On sait que :

• la courbe coupe l'axe des abscisses en deux points de coordonnées respectives $\left(-{\displaystyle \frac{9}{7}};0\right)$ et $\left(9;0\right)$ ;
• $f\prime \left(0\right)=-2$
• la courbe admet au point A d'abscisse 1 une tangente parallèle à l'axe des abscisses.

1. À partir du graphique et des renseignements fournis :

   1. Déterminer $f\prime \left(1\right)$ et $f\prime \left(-3\right)$

   2. Le point de coordonnées $\left(1;-5\right)$ appartient-il à la tangente à la courbe au point d'abscisse 0 ?

2. Soit F une fonction définie sur $ℝ$ et ayant pour dérivée la fonction f .
   Pour chacune des propositions ci-dessous, indiquer si la proposition est vraie ou fausse ou si les informations données ne permettent pas de répondre en justifiant votre réponse.

   1. $F\left(-4\right)⩽F\left(-2\right)$

   2. $F\left(-1\right)⩽F\left(2\right)$

   3. $F\left(1\right)⩽F\left(10\right)$

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exercice 2

1. 1. Calculer la dérivée de la fonction u définie sur $ℝ$ par $u\left(x\right)=3x^2-2x+1$

   2. Calculer la dérivée de la fonction f définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{{\left(3x^2-2x+1\right)}^2}}$

2. 1. Calculer la dérivée de la fonction u définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $u\left(x\right)={\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{2}{x}}$

   2. Calculer la dérivée de la fonction g définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)={\left({\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{2}{x}}\right)}^3$

   3. La fonction g admet-elle un extremum local en 2 ?

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exercice 3

Une entreprise fabrique et commercialise un certain produit. Sa capacité de production mensuelle est inférieure à 15 000 articles.
Soit x le nombre de milliers d'articles fabriqués chaque mois ; le coût de production exprimé en milliers d'euros est modélisé par la fonction C définie pour tout x élément de l'intervalle $\left[0;15\right]$ par :$$C\left(x\right)={\displaystyle \frac{16x^2+11x+60}{x+14}}$$ La courbe représentative de la fonction C, notée $C_T$, est donnée en annexe ci-dessous.

1. Chaque article est vendu 8€, la recette mensuelle exprimée en milliers d'euros est donnée par $R\left(x\right)=8x$

   1. Tracer sur le graphique joint en annexe, la courbe D représentative de la fonction R.

   2. Par lecture graphique, déterminer :

      • les valeurs approximatives des bornes de l'intervalle dans lequel doit se situer la production x pour que l'entreprise réalise un bénéfice positif.
      • la production $x_0$ pour laquelle le bénéfice est maximal.

2. Le bénéfice mensuel exprimé en milliers d'euros est modélisé par la fonction B définie sur l'intervalle $\left[0;15\right]$ par $B\left(x\right)=R\left(x\right)-C\left(x\right)$.

   1. Calculer le montant en euros, du bénéfice si l'entreprise fabrique et vend 6000 articles un mois donné.

   2. Montrer que pour tout réel x appartenant à l'intervalle $\left[0;15\right]$ on a $B\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-8x^2-224x+1474}{{\left(x+14\right)}^2}}$

   3. Étudier les variations de la fonction B.

   4. En déduire le nombre d'articles qu'il faut fabriquer et vendre chaque mois pour obtenir un bénéfice maximal. Quel est le montant en euro, de ce bénéfice maximal ?

3. Le coût marginal de fabrication pour une production de x milliers d'articles est donné par $C\prime \left(x\right)$ où $C\prime$ est la dérivée de la fonction C.
   Vérifier que si le bénéfice est maximal alors le coût marginal est égal au prix de vente d'un article.

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