contrôles en terminale ES

contrôle du 15 octobre 2011

Corrigé de l'exercice 3

partie a : Étude d'une fonction auxiliaire

Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} - 10$ .

Étudier les limites de la fonction f en $- \infty$ et en $+ \infty$ .
$\lim_{x \to - \infty} x^{3} - 6 x^{2} - 10 = \lim_{x \to - \infty} x^{3} = - \infty$
et $\lim_{x \to + \infty} x^{3} - 6 x^{2} - 10 = \lim_{x \to + \infty} x^{3} = + \infty$
Donc $\lim_{x \to - \infty} f (x) = - \infty$ et $\lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$

On note $f'$ la dérivée de la fonction f

Calculer $f' (x)$ .
$f'$ est la fonction définie pour tout réel x par $f' (x) = 3 x^{2} - 12 x$
Étudier le signe de $f' (x)$
Pour tout réel x, $f' (x) = 3 x^{2} - 12 x = 3 x (x - 4)$ D'où le tableau établissant le signe de $f' (x)$
x $- \infty$ 0 4 $+ \infty$
$f' (x)$ + $0_{|}^{|}$ − $0_{|}^{|}$ +

Donner le tableau complet des variations de de la fonction f.

Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :

x	$- \infty$		0		4		$+ \infty$
$f' (x)$		+	$0_{\|}^{\|}$	−	$0_{\|}^{\|}$	+
$f (x)$	$- \infty$		− 10		− 42		$+ \infty$

Montrer que l'équation $f (x) = 0$ admet une solution unique α . À l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur de α arrondie au centième près.
- Sur l'intervalle $] - \infty; 4]$ , le maximum de la fonction f est égal à $- 10$ donc pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle $] - \infty; 4]$ , $f (x) ⩽ - 10$ .
  Par conséquent, l'équation $f (x) = 0$ n'a pas de solution sur l'intervalle $] - \infty; 4]$ .
- Sur l'intervalle $] 4; + \infty [$ , la fonction f est dérivable donc continue, strictement croissante et $0 \in] - 42; + \infty [$ alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire,Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $[a; b]$ , alors pour tout réel k compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , l'équation $f (x) = k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $[a; b]$ . l'équation $f (x) = 0$ admet une unique solution α avec $α \in] 4; + \infty [$ .
L'équation $f (x) = 0$ admet une unique solution α avec $α \approx 6,26$ (valeur approchée au centième près obtenue à la calculatrice).

partie b : Étude d'un coût moyen

Soit $C_{T}$ la fonction définie pour tout réel x élément de l'intervalle $] 0; 10]$ par : $C_{T} (x) = \frac{x^{3}}{2} - 6 x^{2} + 24 x + 10$ La fonction $C_{T}$ modélise sur l'intervalle $] 0; 10]$ le coût total de production exprimé en milliers d'euros, où x désigne le nombre de milliers d'articles fabriqués chaque jour.
La courbe représentative de la fonction coût total, notée (Γ), est donnée ci-dessous :

On considère la fonction $C_{M}$ définie sur l'intervalle $] 0; 10]$ par $C_{M} (x) = \frac{C_{T} (x)}{x}$ . La fonction $C_{M}$ mesure le coût moyen de production, exprimé en euros, par article fabriqué.

Dans le cas où la production est de 4200 articles par jour, calculer le coût moyen arrondi à l'euro près, d'un article .
Pour une production de 4,2 milliers d'articles par jour le coût moyen est : $C_{M} (4,2) = \frac{\frac{{4,2}^{3}}{2} - 6 \times {4,2}^{2} + 24 \times 4,2 + 10}{4,2} \approx 10$
Avec une production de 4200 articles par jour, le coût moyen arrondi à l'euro près, d'un article est de 10 €.
Soit A le point d'abscisse a de la courbe (Γ).
1. Montrer que le coefficient directeur de la droite (OA) est égal au coût moyen $C_{M} (a)$
  La droite (OA) passe par l'origine du repère, donc le coefficient directeur de la droite (OA) est égal à $\frac{y_{A}}{x_{A}}$ .
  Or le point A d'abscisse a appartient à la courbe (Γ) donc les coordonnées du point A sont $A (a; C_{T} (a))$
  Par conséquent, le coefficient directeur de la droite (OA) est égal à $\frac{C_{T} (a)}{x} = C_{M} (a)$ .
2. Conjecturer graphiquement, les variations de la fonction $C_{M}$ .
  Pour tout point A de la courbe (Γ), le coefficient directeur de la droite (OA) est égal au coût moyen. Graphiquement, le coût moyen de production est minimal pour le point A d'abscisse $x_{0}$ de la courbe (Γ) tel que la droite (OA) soit tangente à la courbe (Γ).
  Sur le graphique, on constate que :
  - si $x \in] 0; x_{0}]$ , le coefficient directeur de la droite (OA) décroit pour des quantités de production x qui augmentent. Donc nous pouvons supposer que la fonction coût moyen est décroissante sur $] 0; x_{0}]$ .
  - si $x \in] x_{0}; 10 [$ , le coefficient directeur de la droite (OA) croit pour des quantités de production x qui augmentent. Donc nous pouvons supposer que la fonction coût moyen est croissante sur $[x_{0}; 10]$ .
  Nous pouvons émettre l'hypothèse que le tableau des variations de la fonction $C_{M}$ est le suivant :
  x 0 $x_{0}$ 10
  $C_{M} (x)$

On désigne par $C'$ la dérivée de la fonction $C_{M}$ .

Démontrer que pour tout x appartenant à l'intervalle $] 0; 10]$ on a $C' (x) = \frac{x^{3} - 6 x^{2} - 10}{x^{2}}$ .
La fonction $C_{M}$ est définie sur l'intervalle $] 0; 10]$ par $C_{M} (x) = \frac{\frac{x^{3}}{2} - 6 x^{2} + 24 x + 10}{x} = \frac{x^{2}}{2} - 6 x + 24 + \frac{10}{x}$
Par conséquent, la dérivée de la fonction coût moyen est définie par : $C' (x) = x - 6 - \frac{10}{x^{2}} = \frac{x^{3} - 6 x^{2} - 10}{x^{2}}$
$C'$ est la fonction définie sur l'intervalle $] 0; 10]$ par $C' (x) = \frac{x^{3} - 6 x^{2} - 10}{x^{2}}$ .

En vous aidant de la partie A, étudiez les variations de la fonction $C_{M}$ .

Les variations de la fonction $C_{M}$ se déduisent du signe de sa dérivée $C'$ :

Or pour tout réel $x > 0$ , $x^{2} > 0$ . Donc sur l'intervalle $] 0; 10]$ , $C' (x)$ est du même signe que le polynôme f défini dans la partie A par $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} - 10$

Or d'après l'étude des variations de f nous avons $f (x) ⩾ 0 \Leftrightarrow x ⩾ α$

D'où le tableau des variations de la fonction $C_{M}$ :

x	0		α		10
$C' (x)$		–	$0_{\|}^{\|}$	+
$C_{M} (x)$

En déduire le nombre d'articles, arrondi à la dizaine, à fabriquer pour que le coût moyen soit minimal.
Quel doit être alors le prix de vente minimal, arrondi à l'euro près, d'un article pour que l'entreprise ne travaille pas à perte ?
D'après le tableau des variations de la fonction $C_{M}$ , le coût moyen minimal est obtenu pour une production de α milliers d'articles soit arrondie à la dizaine d'articles près pour une production de 6260 articles.
Le prix de vente minimal, arrondi à l'euro près, d'un article pour que l'entreprise ne travaille pas à perte est le plus petit entier p supérieur au coût moyen minimal. Or $C_{M} (6,26) = = \frac{{6,26}^{2}}{2} - 6 \times 6,26 + 24 + \frac{10}{6,26} \approx 7,6$ D'où $p = 8$
Le coût moyen minimal est obtenu pour une production de 6260 articles. Pour réaliser un bénéfice, le prix de vente minimal d'un article est de 8 €.

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