\documentclass[a4paper,11pt]{article}
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\usepackage[scaled=0.875]{helvet} % ss
\usepackage{textcomp}
\usepackage{dsfont} % pour les symboles des ensembles
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\usepackage{hhline}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{mathtools} %pour l'alignement des termes d'une matrice
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\usepackage[np]{numprint}
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\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
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\tolerance=2000
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\widowpenalty=10000
\clubpenalty=10000
\raggedbottom
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\newcommand{\Oij}{\ensuremath{\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)}}
\newcommand{\Oijk}{\ensuremath{\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}} \right)}}
\newcommand{\euro}{\texteuro{}}
\newcommand{\R}{\mathds {R}}
%\newcommand{\C}{\mathds {C}}
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\newcommand{\dd}{\,\mathrm{d}}
\DecimalMathComma
% Mise en forme des algorithmes
\usepackage[french,boxed,titlenumbered,lined,longend]{algorithm2e}
  \SetKwIF {Si}{SinonSi}{Sinon}{si}{alors}{sinon\_si}{alors}{fin~si}
 \SetKwFor{Tq}{tant\_que~}{~faire~}{fin~tant\_que}
 \SetKwFor{PourCh}{pour\_chaque }{ faire }{fin pour\_chaque}
 \SetKwInput{Sortie}{Sortie}
  \SetKwInput{Entree}{Entrée}
\newcommand{\Algocmd}[1]{\textsf{\textsc{\textbf{#1}}}}\SetKwSty{Algocmd}
  \newcommand{\AlgCommentaire}[1]{\textsl{\small  #1}}  
%
\newcounter{nexo}    % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%
\newcommand{\QCM}[3]{ $\bullet$ \quad #1 \hfill 
$\bullet$ \quad #2 \hfill 
$\bullet$ \quad #3 }
\newcommand{\QCMc}[4]{   #1 \\ 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #2 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #3 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #4 }} % QCM avec cases à cocher%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ {28 septembre 2012}}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{contrôle \no 1}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES\\Durée 2 heures}}} %droit
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

\begin{document}

\exo

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a }}}

 \medskip

Soit $(u_n)$ la suite définie par : $u_0 = 5500$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}= 0,68\times u_n + 3560$ .

\begin{enumerate}
	\item 
\begin{enumerate}
	\item Utiliser les droites d'équations $y = x$ et $y = 0,68x+3560$  pour construire les quatre premiers termes de la suite  $(u_n)$.
	
	\medskip
	 
	\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(28,24)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(28,24)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,xlabelFactor={000},ylabelFactor={000}]{->}(0,0)(-.1,-.1)(14,12)
\uput[d](14,0){$x$} \uput[l](0,12){$y$}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=bleu](0,0)(12,12)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=prune](0,3.56)(12.4,11.992)
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip
Conjecturer le sens de variation de la suite  $(u_n)$ ainsi que la limite de la suite  $(u_n)$.
\item Quel est le rôle de l'algorithme suivant ?

\medskip

\begin{center}
\begin{minipage}{.45\linewidth}   
\begin{algorithm}[H]
\SetCommentSty{AlgCommentaire}
   {$A=5500$  \; $k=0$\;}
  \Tq{$A < 11000$}{
  $k$ prend la valeur $k+1$ \;
  $A$ prend la valeur $0,68 \times A+3560$ \;  
    }
 \Sortie{ Afficher $k$\;}    
\end{algorithm}
 \end{minipage}
\end{center}
\end{enumerate}
\item Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n-11125$.	
\begin{enumerate}
	\item Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
	\item Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$. 
	
	En déduire que, pour tout entier naturel $n$,  ${u_n= 11125 - 5625 \times 0,68^n}$.
	\item La suite $(u_n)$ est-elle convergente ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

 \medskip 

Une revue spécialisée est diffusée uniquement par abonnement. 

Une étude statistique a permis de constater que d'une année sur l'autre, 32\% des abonnés ne renouvellent pas leur abonnement et 3560 nouvelles personnes souscrivent un abonnement.

En 2010, il y avait 5 500 abonnés à cette revue.
 
\begin{enumerate}
	\item Donner une estimation du nombre d'abonnés à cette revue en 2012.
		\item Pour tout nombre entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre d'abonnés à la revue l'année $2010 +n$.
		
\begin{enumerate}
\item Justifier que pour tout entier $n$, $u_{n+1}= 0,68\times u_n + 3560$ .
	\item Est-il possible d'envisager au bout d'un nombre d'années suffisamment grand, une diffusion supérieure à 12 000 abonnés ?
	\item \`A l'aide de la calculatrice, déterminer l'année à partir de laquelle le nombre d'abonnés à la revue sera supérieur à 11 000.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \bigskip
 
 \exo 

\medskip

\emph{Cet exercice constitue un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule des réponses proposées est exacte.}

\emph{Pour chaque question, indiquer sur votre copie le numéro de la question et la réponse choisie en justifiant votre choix.}
 

\begin{enumerate}

\item On place 15 000 \euro{} au taux annuel de  2,5\%. On note $C_n$ le capital disponible au bout de $n$ années alors :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{$\bullet~~$}X}} 
$C_n = 15000 + 375 n$  &  $C_n = 15000 + 0,025^n$ &  $C_n = 15000 + 1,025^n$ &    $C_n = 15000 \times 1,025^n$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item On note $S_n = 1 + \dfrac{1}{5} +  \dfrac{1}{25} + \cdots  + \dfrac{1}{5^n}$ alors :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{$\bullet~~$}X}} 
 $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} S_n =+\infty$ &   $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} S_n =1,25$ &  $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} S_n =1,5$  &  $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} S_n =2$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item 
Sur la figure ci-dessous est tracée la courbe représentative notée $C_f$ d'une fonction $f$ dérivable sur $\R$. La droite $D$ est tangente à la courbe $C_f$  au point $A(5;0)$.

\begin{center}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-14,-5)(26,10)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{violet}{0.5 .1 .4 }
\newrgbcolor{rouge}{1 .1 .2 }
%\def\f{(x-5)*(x+4)*(x^2-x-4)/50}
\def\f{(5-x)*(x+4)^2*(10/27)^(.04*x^2)*.05}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-14,-5)(26,10)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-7,-2.5)(13,5)
\uput[dl](0,0){0}
\uput[dl](13,0){$x$} \uput[dl](0,5){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-7}{13}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=violet](3,3)(6.5,-2.25)
\psdots[linecolor=violet,dotscale=.8] (5,0)
\uput[r](11,-1){\bleu{$C_f$}}
\uput[ur](5,0){\violet{$A$}}
\uput[l](3,3){\violet{$D$}}
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item On note $f'$ la dérivée de la fontion $f$
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{$\bullet~~$}X}} 
$f'(5)=0$& $f'(5)=\dfrac{3}{2}$& $f'(5)=-\dfrac{2}{3}$ &$f'(5)=-\dfrac{3}{2}$\\
\end{tabularx}

\medskip 
		\item Sur l'intervalle $\left]- \infty; 0\right[$ :
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{$\bullet~~$}X}}		
$f'(x)\leqslant 0$ & $f'(x)\geqslant 0$  & $f'(-6)\leqslant f'(-4)$  & $f'(-6)\geqslant f'(-4)$\\
\end{tabularx}

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak
  
\exo

 \medskip 

Soit $f$ la fonction définie sur  $\R$ par $f(x)=\displaystyle\frac{15x+60}{x^2+9}$. On note $f'$  la dérivée de la fonction $f$. 


Sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan, notée $C_f$, est donnée en annexe ci-dessous à titre indicatif.
 
\begin{enumerate}
	\item Calculer $f'(x)$. 
		\item \'Etudier le signe de $f'(x)$. 
		\item Donner le tableau des variations de $f$. 
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $-4$. 

Tracer sur le graphique donné en annexe, la tangente $T$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}

\textsf {\textbf{\textsc{annexe}}}

\bigskip


\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-20,-4)(20,18)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-20,-4)(20,18)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-10,-2)(10,9)
\uput[dl](10,0){$x$} \uput[dl](0,9){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-10}{10}{(15*x+60)/(x^2+9)}
\uput[l](14.5,7.5){\bleu{$(C_f)$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}
