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\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
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\newcommand{\Oijk}{\ensuremath{\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}} \right)}}
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\newcounter{nexo}    % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%
\newcommand{\QCM}[3]{ $\bullet$ \quad #1 \hfill 
$\bullet$ \quad #2 \hfill 
$\bullet$ \quad #3 }
\newcommand{\QCMc}[4]{   #1 \\ 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #2 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #3 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #4 }} % QCM avec cases à cocher%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ {23 novembre 2012}}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{contrôle \no 3}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES\\Durée 2 heures}}} %droit
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

\begin{document}

\exo  \qquad  ( 1,5 \emph{points} )

\medskip

En 2011, le prix moyen d'un lingot d'or d'un kg est de  \np{36479}~\euro, contre \np{15278}~\euro{}  en 2006. 


Calculer le pourcentage annuel moyen d'évolution du prix du lingot d'or entre 2006 et 2011.

\bigskip

\exo  \qquad   ( 1,5 \emph{points} )

\medskip

On a tracé ci-dessous, les courbes représentatives de trois fonctions $f$, $g$ et $h$ définies sur $\R$.
\begin{center}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-6,-1)(8,12)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\f{(5*.4^x+1)/6}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-6,-1)(8,12)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-0.5)(4,6)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,6){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2.123}{4}{\f}
\uput[dl](-2.1,6){\footnotesize{\bleu{$\mathcal{C}_f$}}}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-7,-1)(6,12)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\f{2^x}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-7,-1)(6,12)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3.5,-0.5)(3,6)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](3,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,6){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3.5}{2.585}{\f}
\uput[dr](1.7,6){\footnotesize{\bleu{$\mathcal{C}_g$}}}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-7,-1)(6,12)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\f{(9*3^x+5)/16}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-7,-1)(6,12)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3.5,-0.5)(3,6)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](3,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,6){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3.5}{2.105}{\f}
\uput[dl](2.9,6){\footnotesize{\bleu{$\mathcal{C}_h$}}}
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Une seule de ces trois fonctions est une fonction exponentielle de base $q$. Laquelle est-ce ?
	\item Quelle est la valeur du réel $q$ ? 
\end{enumerate}

\bigskip

\exo  \qquad   ( 2 \emph{points} )

 \medskip 

 Simplifier les expressions suivantes :

$A= {\left( 2^x\right)}^2+\dfrac{1}{2^{-2x}}$ ; \hfill $B= \left( 1+0,3^x\right)^2-\left( 1-0,3^x\right)^2$ ; \hfill $C=\dfrac{\e^{3x-2}}{\e^{3-2x}}\times\e^{5,5-5x}$ ; \hfill $D=\left( 1 +\e^x\right)\left(1-\e^{-x}\right) + \left(1- \e^x \right)\e^{-x}$.  

\bigskip

\exo  \qquad   ( 2,5 \emph{points} )

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=5^x+0,2^x$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $f(0)$.
	\item Calculer $f(-1)$ et $f(1)$.
	\item Montrer que pour tout réel $x$, $f(-x)= f(x)$
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
\exo  \qquad   ( 4 \emph{points} )

 \medskip 

\begin{enumerate}
	\item Résoudre dans $\R$  les équations suivantes :
	
\begin{enumerate}
	\item $\dfrac{1}{\e^{2x+1}}=\e$.
	\item $\left( x-1\right)\left(\e^x -1\right)=0$
\end{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$  les inéquations suivantes :
\begin{enumerate}
	
	\item $\left(\e^{x}\right)^2 \times \e^{x^2} \leqslant 1$
	\item $\dfrac{\e^x -1}{\e^x+1} \geqslant 0$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\pagebreak

\exo  \qquad  ( 4 \emph{points} )

 \medskip 

 Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\e^x+\dfrac{1}{\e^{x}}$.
 
\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$.
	
\begin{enumerate}
	\item Calculer $f'(x)$.
	\item Donner le tableau de variations de $f$.
\item En déduire que pour tout réel $x$, $\e^x+\e^{-x}\geqslant 2$.
\end{enumerate}
	\item On note $f''$ la dérivée seconde de la fonction $f$.
	
\begin{enumerate}
	\item Montrer que pour tout réel $x$, $f''(x)=f(x)$.
	\item \'Etudier la convexité de la fonction $f$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
 
\exo  \qquad  ( 4,5 \emph{points} )
 
 \medskip
 
 Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f (x) = \left(x^2-\dfrac{5}{2}x+1\right) \e^x$. 
 
 Sa courbe représentative notée $\mathcal{C}_f$ est donnée ci-dessous.
 \begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-13,-6)(8,10)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{(x^2-2.5*x+1)*EXP(x)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-13,-6)(8,10)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-6.5,-3)(4,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-6.5}{2.285}{\f}
%\psline(-1,2.5)(1,-.5)
\uput[dr](2.4,5){\footnotesize{\bleu{$\mathcal{C}_f$}}}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
	\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
	
\begin{enumerate}
	\item Calculer $f'(x)$.
	\item \'Etudier le signe de $f'(x)$ selon les valeurs de $x$.
	\item Dresser le tableau de variations de $f$.
\end{enumerate}
 \item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 0.
 
 Tracer la droite $T$ sur le graphique précédent.
	

	\item Montrer que l'équation $f(x)=40$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $[2;3]$.
	
	\`A l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur arrondie à $10^{-2}$ près de $\alpha$.
\end{enumerate}

  
\end{document}
