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\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\newcommand{\Oij}{\ensuremath{\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)}}
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\newcounter{nexo}    % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête

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\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ { 25 mars 2013}}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{bac blanc : épreuve de mathématiques}}}}}
\rhead{\footnotesize{\textsf{Série ES\\Durée 3 heures}}}

%pied de page
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}} 
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}} 


\begin{document}

\begin{titlepage}

{\fbox{\parbox{\linewidth}{
\bigskip
\begin{center}
{\Huge\textsf{\textbf{BACCALAUR\'EAT BLANC}}}
\end{center}
\bigskip
}
}}
\vspace{\stretch{.5}}

\begin{center}
{\huge{\textsf{\textbf{Lycée JANSON DE SAILLY}}}}


\rule{3cm}{1pt} 

\vspace{\stretch{1}}

{\Huge{\textsf{\textbf{MATH\'EMATIQUES}}}}

\vspace{\stretch{.5}}

{\huge{\textsf{\textbf{Série ES}}}}


\rule{3cm}{1pt} 
\vspace{\stretch{1}}

{\Large{\textsc{Durée de l'épreuve :} 3 heures -- \textsc{Coefficient 7}}

\vspace{\stretch{1}}

{\textbf{Ce sujet comporte \pageref{LastPage} pages numérotées de 1 à \pageref{LastPage}}}

\vspace{\stretch{1}}

{L'utilisation de la calculatrice est autorisé}}
%\end{center}

\vspace{\stretch{3}}

\hrulefill

\bigskip
Le candidat doit traiter tous les exercices. 

Il est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
  
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. 
  


\hrulefill

\end{center}
 \end{titlepage}

\exo  \qquad  ( 3 \textit{points} )  \hfill  \textsf{\textbf{{\textsc{Commun à tous les élèves}}}}

 \medskip 
Une revue spécialisée est diffusée uniquement par abonnement. 

En 2010, il y avait 40 mille abonnés à cette revue. Depuis cette date, on a remarqué que chaque année 85\:\% des abonnés renouvellent leur  abonnement et 12 mille nouvelles personnes souscrivent un abonnement.

On note $a_{n}$ le nombre d'adhérents pour l'année $2010 + n$ ; on a donc $a_{0} =  40$ et $a_{n+1} = 	0,85 a_{n} + 12$ pour tout entier naturel $n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant : 		
		
\begin{center}
\textsf{\begin{tabular}{|l l|}\hline 
Variables :&$n$ et $S$ sont des entiers naturels\\ 
&$A$ est un réel.\\ 
Entrée :& 	Demander à l'utilisateur la valeur de $S$\\ 
Initialisation :& Affecter à $n$ la valeur 0\\
& Affecter à $A$ la valeur $40$\\
Traitement :& Tant{\_}que $A \leqslant S$ :\\
&\begin{tabular}{l|l}
~~& Affecter à $n$ la valeur $n + 1$\\
~~& Affecter à $A$ la valeur $0,85 \times A +12$\\
\end{tabular}\\
& Fin Tant{\_}que\\ 
Sortie :& Afficher $n$\\ \hline
\end{tabular}}
\end{center} 
Lorsque l'utilisateur entre la valeur $S=70$, l'affichage en sortie est $n = 9$. Interpréter ce résultat.
\item Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{n} = a_{n} - 80$ pour tout $n \geqslant 0$.

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $a_{n} = 80 - 40 \times 0, 85^n$.
		\item Selon ce modèle, le directeur de cette revue peut-il envisager de la diffuser à 100 mille exemplaires ?
		\end{enumerate}

 	\end{enumerate}

\bigskip

	\exo  \qquad  ( 5 \textit{points} )  \hfill  \textsf{\textbf{{\textsc{Élèves ayant suivi l'enseignement de spécialité ES}}}}  

 \medskip 
 
 On considère les matrices suivantes : \[A=\begin{pmatrix*}[r]
 16 & 4 & -4 \\
 -18&-4&5\\30&8&-7 \end{pmatrix*}
 \textrm{ et }\ P=\begin{pmatrix*}[r] 1&0&-1\\-2&1&1\\2&1&-2
\end{pmatrix*}.\]

\begin{enumerate}

\item Calculer la matrice $B=AP$.
\item Déterminer la matrice $P^{-1}$.
\item On pose $D=P^{-1}AP=P^{-1}B$. Calculer $D$.
\item \begin{enumerate}
\item Exprimer $A$ en fonction de $D$.
\item Exprimer alors $A^2$ puis $A^3$ en fonction de $P$, $D^2$, $D^3$ et $P^{-1}$.
\end{enumerate}
\item On admettra que, pour tout entier $n$ strictement positif, on a :\[A^n=PD^nP^{-1} \textrm{ et }\ D^n=\begin{pmatrix} 0&0&0\\0&1&0\\0&0&4^n
 \end{pmatrix}.\]
 Déterminer les coefficients de  $A^n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
 	

\pagebreak

\exo  \qquad  ( 5 \textit{points} )  \hfill   \textsf{\textbf{{\textsc{Commun à tous les élèves}}}}


 \medskip 
\begin{center}
\emph{D'après sujet Polynésie 2006}
\end{center}
Une enquête est réalisée auprès des clients d'une compagnie aérienne. Elle révèle que 40\,\% des clients utilisent la compagnie pour des raisons professionnelles, que 35\,\% des clients utilisent la compagnie pour des raisons touristiques et le reste pour diverses autres raisons. 

Sur l'ensemble de la clientèle, 40\,\%  choisit de voyager en première classe et le reste en seconde classe. 

En fait, 60\,\%  des clients pour raisons professionnelles voyagent en première classe, alors que seulement 20\,\% des clients pour raisons touristiques voyagent en première classe.

On choisit au hasard un client de cette compagnie. On suppose que chaque client à la même probabilité d'être choisi. 

On note :


\begin{itemize}
\item  $A$ l'évènement \og le client interrogé voyage pour des raisons professionnelles \fg 
\item  $T$ l'évènement \og le client interrogé voyage pour des raisons touristiques \fg 
\item  $D$ l'évènement \og le client interrogé voyage pour des raisons autres que professionnelles ou touristiques \fg
\item  $V$ l'évènement \og le client interrogé voyage en première classe \fg.
\end{itemize}

    
\medskip
    
Si $E$ et $F$ sont deux évènements, on note $p(E)$ la probabilité que $E$ soit réalisé, et $p_F(E)$ la probabilité que $E$ soit réalisé sachant que $F$ est réalisé. D'autre part, on notera $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$.

\begin{enumerate}
\item  Déterminer : $p(A)$, $p(T)$, $p(V)$, $p_{A}(V)$ et $p_{T}(V)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité que le client interrogé voyage en première classe et pour des raisons professionnelles.
		\item Déterminer la probabilité que le client interrogé voyage en première classe et pour des raisons touristiques.
		\item En déduire la probabilité que le client interrogé voyage en première classe et pour des raisons autres que professionnelles ou touristiques.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer la probabilité que le client interrogé voyage pour des raisons professionnelles sachant qu'il a choisi la première classe.
\item Soit un entier $n$ supérieur ou égal à 2. On choisit $n$ clients de cette compagnie aérienne d'une façon indépendante.

 On note $p_{n}$ la probabilité qu'au moins un de ces clients voyage en seconde classe.
	\begin{enumerate}
		\item Prouver que : $p_{n} = 1 - 0,4^n$. 
		\item Déterminer le plus petit entier $n$ pour lequel $p_{n} > 0,9999$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 
 
\pagebreak

\exo  \qquad  ( 7 \textit{points} )  \hfill   \textsf{\textbf{{\textsc{Commun à tous les élèves}}}}

\medskip 

\textsf{\textbf{\textsc{partie a :}} Lecture graphique}

\medskip

On donne ci-dessous, la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ dans le plan muni d'un repère orthonormé. 

La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ d'abscisse $-1$ est parallèle à l'axe des abscisses.

\begin{center}
\psset{unit=.5 cm}
\begin{pspicture}(-14,-8)(20,14)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{(x+6)*EXP(-.2*x)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-14,-8)(20,14)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-7,-4)(10,7)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}} \uput[dl](10,0){$x$} \uput[dl](0,7){$y$}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=20,linewidth=.5pt, linecolor=bleu]{3}{5}{\f} \gsave
\psline(5,0)(3,0)
\fill[hatchwidth=0.5pt,hatchcolor=prune,fillstyle=vlines] \grestore }
\psplot[algebraic=true,plotpoints=800,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-7}{10}{\f}
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune](-2.5,6.1)(0.5,6.1)
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune](3,0)(3,4.94)
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune](5,0)(5,4.05)
\uput[ul](10,2.5){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\uput[u](-1,6){\bleu{\footnotesize{$A$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\emph{Pour chacune des questions qui suivent, toute réponse sera justifiée}.
\begin{enumerate}
\item Donner la valeur de $f'(-1)$.
\item Déterminer le signe de $f'(4)$.
\item Déterminer une valeur approchée à l'unité près de l'aire du domaine hachuré.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie b :}} \'Etude d'une fonction}

\medskip


La fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ par  $f(x)=(x+6)\e^{-0,2x}$.

On note $f'$  sa fonction dérivée et on admet que pour tout réel $x$, on a  $f'(x)=(-0,2x-0,2)\e^{-0,2x}$.

\begin{enumerate}
	\item \'Etudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$.
	\item \begin{enumerate}
	\item Montrer que $f''(x)= (0,04x-0,16)\e^{-0,2x}$, pour tout réel $x$.
\item \'Etudier la convexité de la fonction $f$. 
\item Montrer que la courbe représentative de $f$ admet un point d'inflexion  et déterminer ses coordonnées.
	\end{enumerate}
	\item\begin{enumerate}
	\item  Démontrer que la fonction $F$ définie pour tout réel $x$ par $F(x)=(-5x-55)\e^{-0,2x}$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
	\item Calculer l'intégrale $I=\displaystyle\int^{5}_{3} f(x) \dd x$  ; on donnera la valeur exacte et la valeur arrondie au centième près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\vspace{\stretch{1}}
\bigskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie c :}} Application économique}

\medskip

La fonction de demande d'un produit est modélisée sur l'intervalle $[1 ; 8]$ par la fonction $f$ étudiée dans la partie B.

Le nombre $f (x)$ représente la quantité demandée, exprimée en centaines de milliers d'objets, lorsque le prix unitaire est égal à $x$ euros.

\begin{enumerate}
	\item Calculer le nombre d'objets demandés, au millier près, lorsque le prix unitaire est fixé à 4 euros.
	\item En utilisant les résultats de la partie B, déterminer la demande moyenne arrondie au millier d'objets près, lorsque le prix unitaire varie entre 3 et 5 euros.
	\item L'élasticité $E(x)$ de la demande par rapport au prix est le pourcentage de variation de la demande pour une augmentation de 1 \% du prix. On admet qu'une bonne approximation de $E(x)$ est donnée par : 
	\[E(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}\times x \qquad \text{sur } [1 ; 8] \]	
	Calculer $E(4)$. Interpréter le résultat.
\end{enumerate}

 
\end{document}
