contrôles en terminale ES

contrôle du 28 septembre 2013

thèmes abordés

  • Dérivées successives d'une fonction, convexité, variation.
  • Suite arithmético-géométrique.

exercice 1

Les courbes Cf , Cg et Ch sont les représentations graphiques de trois fonctions f , g et h définies et dérivables sur .

On note f, g et h les dérivées respectives des trois fonctions f , g et h.

Courbe Cf

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Courbe C1

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Courbe Cg

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Courbe C2

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Courbe Ch

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Courbe C3

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  1. Par lecture graphique, déterminer f-1 et f2.

  2. Les courbes C1, C2 et C3 sont les représentations graphiques des fonctions f, g et h.
    Associer à chacune des fonctions dérivées f, g et h sa courbe représentative.

  3. Laquelle des trois fonctions f , g ou h a pour dérivée seconde la fonction k dont le signe en fonction du réel x est donné par le tableau ci-dessous ?

    x− ∞ 2 + ∞
    kx 0||+ 

exercice 2

Soit f la fonction définie pour tout réel x appartenant à l'intervalle 0+ par fx=2x2+x-1x2 .
On note Cf sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère.

  1. Déterminer les coordonnées des points d’intersection éventuels de la courbe Cf avec l’axe des abscisses.

  2. On note f la dérivée de la fonction f.

    1. Montrer que pour tout réel x appartenant à l'intervalle 0+, fx=2-xx3.

    2. Donner le tableau des variations de f.

    1. Étudier la convexité de la fonction f.

    2. La courbe représentative de la fonction f a-t-elle un point d’inflexion ?

  3. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

    Montrer que l’équation fx=12 admet une solution unique α dans l’intervalle 12.
    À l’aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie à 10− 2 près, de α.


exercice 3

En 2012, la population d’une ville était de 40 000 habitants. Une étude portant sur l'évolution démographique, a permis d'établir que chaque année, 8 % des habitants quittent la ville et 4 000 nouvelles personnes emménagent.
On note un le nombre de milliers d’habitants de cette ville l’année 2012 + n ; on a donc u0=40.

  1. Selon ce modèle, à combien peut-on évaluer la population de cette ville en 2013 ?

  2. Justifier que pour tout entier naturel n, un+1=0,92×un+4.

  3. On considère l'algorithme suivant :

    Initialisation :Affecter à N la valeur 0
     Affecter à U la valeur 40
    Traitement :Tant_queU<44 :
     

    Affecter à N la valeur N+1
    Affecter à U la valeur 0,92×U+4 

     Fin Tant_que
    Sortie :Afficher N

    Recopier et compléter le tableau suivant autant que nécessaire en arrondissant les résultats au millième près. Quel nombre obtient-on en sortie de l'algorithme? Interpréter ce résultat.

    N 01
    U40
    Test U<44 Vrai
  4. On considère la suite vn définie pour tout entier naturel n par vn=un-50.

    1. Démontrer que vn est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

    2. Exprimer vn, en fonction de n. En déduire que, pour tout entier naturel n, un=50-10×0,92n.

  5. Étudier la monotonie de la suite un.

  6. Déterminer la limite de la suite un. Interpréter ce résultat.



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✉ A.Yallouz

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