contrôle du 28 septembre 2013

exercice 1

Les courbes $C_f$ , $C_g$ et $C_h$ sont les représentations graphiques de trois fonctions f , g et h définies et dérivables sur $ℝ$.

On note $f\prime$, $g\prime$ et $h\prime$ les dérivées respectives des trois fonctions f , g et h.

Courbe $C_f$	Courbe $C_1$
Courbe $C_g$	Courbe $C_2$
Courbe $C_h$	Courbe $C_3$

1. Par lecture graphique, déterminer $f\prime \left(-1\right)$ et $f\prime \left(2\right)$.

2. Les courbes $C_1$, $C_2$ et $C_3$ sont les représentations graphiques des fonctions $f\prime$, $g\prime$ et $h\prime$.
   Associer à chacune des fonctions dérivées $f\prime$, $g\prime$ et $h\prime$ sa courbe représentative.

3. Laquelle des trois fonctions f , g ou h a pour dérivée seconde la fonction k dont le signe en fonction du réel x est donné par le tableau ci-dessous ?

   x	$-\infty$		2		$+\infty$
   $k\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

---

exercice 2

Soit f la fonction définie pour tout réel x appartenant à l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x^2+x-1}{x^2}}$ .
On note $C_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère.

1. Déterminer les coordonnées des points d’intersection éventuels de la courbe $C_f$ avec l’axe des abscisses.

2. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f.

   1. Montrer que pour tout réel x appartenant à l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2-x}{x^3}}$.

   2. Donner le tableau des variations de f.

3. 1. Étudier la convexité de la fonction f.

   2. La courbe représentative de la fonction f a-t-elle un point d’inflexion ?

4. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

   Montrer que l’équation $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$ admet une solution unique α dans l’intervalle $\left[1;2\right]$.
   À l’aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie à 10^{− 2} près, de α.

---

exercice 3

En 2012, la population d’une ville était de 40 000 habitants. Une étude portant sur l'évolution démographique, a permis d'établir que chaque année, 8 % des habitants quittent la ville et 4 000 nouvelles personnes emménagent.
On note $u_n$ le nombre de milliers d’habitants de cette ville l’année 2012 + n ; on a donc $u_0=40$.

1. Selon ce modèle, à combien peut-on évaluer la population de cette ville en 2013 ?

2. Justifier que pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=\mathrm{0,92}\times u_n+4$.

3. On considère l'algorithme suivant :

   Initialisation :	Affecter à N la valeur 0
   	Affecter à U la valeur 40
   Traitement :	Tant_que$U<\mathrm{44}$ :
   	Affecter à N la valeur $N+1$ Affecter à U la valeur $\mathrm{0,92}\times U+4$
   	Fin Tant_que
   Sortie :	Afficher N

   Recopier et compléter le tableau suivant autant que nécessaire en arrondissant les résultats au millième près. Quel nombre obtient-on en sortie de l'algorithme? Interpréter ce résultat.

   N	0	1	…
   U	40		…
   Test $U<\mathrm{44}$	Vrai		…

4. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel n par $v_n=u_n-50$.

   1. Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

   2. Exprimer $v_n$, en fonction de n. En déduire que, pour tout entier naturel n, $u_n=50-10\times {\mathrm{0,92}}^n$.

5. Étudier la monotonie de la suite $\left(u_n\right)$.

6. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Interpréter ce résultat.

---

---

Télécharger le sujet :

  LaTeX      |      Pdf    

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions (I) : Dérivées, variationFonctions (I) : Lectures graphiquesFonctions (I) : Applications en ÉconomieFonctions (I) : Valeur intermédiaireFonctions (I) : Q.C.MConvexité, point d'inflexionLogarithme népérien : Propriétés algébriquesLogarithme népérien : ÉquationsLogarithme népérien : Équations avec exponentielleFonction logarithmePropriétés des fonctions exponentielleFonction exponentielleExponentielle d'une fonctionPrimitives d'une fonctionCalcul intégralIntégrale et aireFonctions (II) : Applications en ÉconomieFonctions (II) : Q.C.MFonctions : Vrai-FauxProbabilitésLoi binomialeLois de probabilité à densitéQ.C.M ProbabilitésGraphesGraphes probabilistesMatricesVrai - Faux (divers)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions (I) : Dérivées, variationFonctions (I) : Étude de fonctions, limites et dérivéeFonctions (I) : Lectures graphiquesFonctions (I) : Applications en ÉconomieFonctions (I) : Valeur intermédiaireFonctions (I) : Q.C.MFonctions (I) : Limites, dérivée de fonctions composéesConvexité, point d'inflexionLogarithme népérien : Propriétés algébriquesLogarithme népérien : ÉquationsLogarithme népérien : Équations avec exponentielleFonction logarithmeLogarithme d'une fonctionPropriétés des fonctions exponentielleFonction exponentielleExponentielle d'une fonctionPrimitives d'une fonctionCalcul intégralIntégrale et aireFonctions (II) : Applications en ÉconomieFonctions (II) : Q.C.MFonctions : Vrai-FauxAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement d'un nuage de pointsProbabilitésLoi binomialeLois de probabilité à densitéQ.C.M ProbabilitésGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesMatricesVrai - Faux (divers)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.