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  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%
  
% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 28 septembre 2013}}} %gauche
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\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

\begin{document}

\exo \qquad  ( 4 \emph{points} ) 

 \medskip 

Les courbes $\mathcal{C}_f$, $\mathcal{C}_g$ et $\mathcal{C}_h$ sont les représentations graphiques de trois fonctions $f$, $g$ et $h$  définies et dérivables sur $\R$. On note $f'$, $g'$ et $h'$ les dérivées respectives des trois fonctions $f$, $g$ et $h$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\centering \arraybackslash}X}} 

Courbe $\mathcal{C}_f$

\begin{center}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-8,-4)(10,12)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-4)(10,12)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-0.07 0.07,yticksize=-0.07 0.07]{->}(0,0)(-4,-2)(5,6)
\uput[dl](5,0){$x$} \uput[dl](0,6){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\def\f{(x+1)^4/54-(x+1)^3/9+1.5}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-4}{5}{\f}
\psline[linewidth=.8pt, linecolor=prune](-.5,2.5)(3.5,-1.5)
\psline[linewidth=.8pt, linecolor=prune](-2.5,1.5)(1,1.5)
\uput[u](-1,1.5){\bleu{$A$}} \uput[ur](2,0){\footnotesize{\bleu{$B$}}}
\psdots[linecolor=bleu,dotscale=.8](-1,1.5)(2,0)
\end{pspicture}
\end{center} & Courbe $\mathcal{C}_1$ 

\begin{center}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-8,-12)(10,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-12)(10,4)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-0.07 0.07,yticksize=-0.07 0.07]{->}(0,0)(-4,-6)(5,2)
\uput[dl](5,-0.1){$x$} \uput[dl](0,2){$y$}
\rput(-0.25,-0.25){0}
\def\h{-(x+1)^4/27+8*(x+1)^3/27-2*(x+1)^2/3}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.5pt, linecolor=prune]{-3.05}{4.72}{\h}
\end{pspicture}
\end{center}\\
Courbe $\mathcal{C}_g$

\begin{center}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-8,-6)(10,10)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-6)(10,10)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-0.07 0.07,yticksize=-0.07 0.07]{->}(0,0)(-4,-3)(5,5)
\uput[dl](5,0){$x$} \uput[dl](0,5){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\def\g{(x+1)^5/135-(x+1)^4/27+11/5}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-4}{4.435}{\g}
\psline[linewidth=.8pt, linecolor=prune](-.5,3.5)(3.5,-.5)
\psline[linewidth=.8pt, linecolor=prune](-3,2.2)(1.5,2.2)
\uput[u](-1,2.2){\bleu{$A$}} \uput[ur](2,1){\footnotesize{\bleu{$B$}}}
\psdots[linecolor=bleu,dotscale=.8](-1,2.2)(2,1)
\end{pspicture}
\end{center} & Courbe $\mathcal{C}_2$ 

\begin{center}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-8,-10)(10,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-10)(10,6)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-0.07 0.07,yticksize=-0.07 0.07]{->}(0,0)(-4,-5)(5,3)
\uput[dl](5,0){$x$} \uput[dl](0,3){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\def\f{2*(x+1)^3/27-(x+1)^2/3}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.5pt, linecolor=prune]{-4}{4.74}{\f}
\end{pspicture}
\end{center}\\
Courbe $\mathcal{C}_h$

\begin{center}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-8,-6)(10,10)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-6)(10,10)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-0.07 0.07,yticksize=-0.07 0.07]{->}(0,0)(-4,-3)(5,5)
\uput[dl](5,0){$x$} \uput[dl](0,5){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\def\h{-(x+1)^5/135+2*(x+1)^4/27-2*(x+1)^3/9+.8}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-3.16}{3.65}{\h}
\psline[linewidth=.8pt, linecolor=prune](-.5,1.5)(3.5,-2.5)
\psline[linewidth=.8pt, linecolor=prune](-2.5,.8)(1,.8)
\uput[u](-1,.8){\bleu{$A$}} \uput[ur](2,-1){\footnotesize{\bleu{$B$}}}
\psdots[linecolor=bleu,dotscale=.8](-1,.8)(2,-1)
\end{pspicture}
\end{center} & Courbe $\mathcal{C}_3$ 

\begin{center}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-8,-4)(10,12)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-4)(10,12)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-0.07 0.07,yticksize=-0.07 0.07]{->}(0,0)(-4,-2)(5,6)
\uput[dl](5,-0.1){$x$} \uput[dl](0,6){$y$}
\rput(-0.25,-0.25){0}
\def\f{(x+1)^4/27-4*(x+1)^3/27}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.5pt, linecolor=prune]{-3.87}{4.17}{\f}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{tabularx}

\begin{enumerate}
	\item Par lecture graphique, déterminer  $f'(-1)$ et $f'(2)$.
	\item Les courbes $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$ et $\mathcal{C}_3$ sont les représentations graphiques des fonctions $f'$, $g'$ et $h'$.
	
	Associer à chacune des fonctions dérivées $f'$, $g'$ et $h'$ sa courbe représentative.
	\item Laquelle des trois fonctions $f$, $g$ ou $h$ a pour dérivée seconde la fonction $k$ dont le signe en fonction du réel $x$ est donné par le tableau ci-dessous ?
	\begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(12,1.6)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(12,1.6) \psline(2,0)(2,1.6) \psline(0,.8)(12,.8)
\rput(1,1.2){$x$}\rput(2.5,1.2){$- \infty$} \rput(7,1.2){$2$} \rput(11.5,1.2){$+ \infty$}
\rput(1,0.4){$k(x)$} \rput(4.75,0.4){$-$} \pnode(7,.8){m1}\pnode(7,0){m2}
\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{m1}{m2}\ncput*{0}\rput(9.25,0.4){$+$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\vspace{2cm}
 
 \exo \qquad ( 8 \emph{points} ) 
 
 \medskip
 
 Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ appartenant à  l'intervalle $]0 ; + \infty[$ par $f(x) =\dfrac{2x^2+x-1}{x^2}$.
  
 
 On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.
 \begin{enumerate}
 \item Déterminer les coordonnées des points d'intersection éventuels de la courbe $\mathcal{C}_f$ avec l'axe des abscisses.
 \item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$.
 \begin{enumerate}
 \item Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à  l'intervalle $]0 ; + \infty[$, $f '(x) =\dfrac{2-x}{x^3}$.
 \item Donner le tableau des variations de la fonction $f$.
  \end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
 \item \'Etudier la convexité de la fonction $f$.
 \item La courbe représentative de la fonction $f$  a-t-elle un point d'inflexion ? 
 \end{enumerate}
 \item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
 Montrer que l'équation $f'(x)=\dfrac{1}{2}$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $[1;2]$.
 
 \`A l'aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie à $10^{-2}$ près, de $\alpha$.
 \end{enumerate}

\pagebreak
 
\exo \qquad ( 8 \emph{points} ) 

\medskip
 
En 2012, la population d'une ville était de \np{40000} habitants. Une étude portant sur l'évolution démographique, a permis d'établir que chaque année, 8\,\% des habitants quittent la ville et \np{4000} nouvelles personnes emménagent. 
 
On note $u_{n}$ le nombre de milliers d'habitants de cette ville l'année $2012 + n$ ; on a donc $u_{0} =  40$.

\begin{enumerate}
\item Selon ce modèle, à combien peut-on évaluer la population de cette ville en 2013 ?
\item  Justifier que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,92 \times u_n + 4$.

\item On considère l'algorithme suivant : 		
		
\begin{center}
\textsf{\begin{tabular}{|l l|}\hline 
Initialisation :& Affecter à $N$ la valeur 0\\
& Affecter à $U$ la valeur $40$\\
Traitement :& Tant{\_}que $U \leqslant 44$ :\\
&\begin{tabular}{l|l}
~~& Affecter à $N$ la valeur $N + 1$\\
~~& Affecter à $U$ la valeur $0,92 \times U +4$\\
\end{tabular}\\
& Fin Tant{\_}que\\ 
Sortie :& Afficher $N$\\ \hline
\end{tabular}}
\end{center} 

Recopier et compléter le tableau suivant autant que nécessaire en arrondissant les résultats au millième près. 

Quel nombre obtient-on en sortie de l'algorithme ? Interpréter ce résultat.

%\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$N$				&0	& 1	& \ldots & \\ \cline{1-3}\cline{5-5}
$U$				& 40  & & \ldots & \\ \cline{1-3}\cline{5-5}
Test $U \leqslant 44$	& Vrai & & \ldots & \\ \hline
\end{tabularx}
%\end{center} 

\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = u_{n} - 50$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_{n} = 50 - 10 \times  0,92^n$.
		
	\end{enumerate} 
	\item \'Etudier la monotonie de la suite  $u_{n}$.
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. Interpréter ce résultat.

 	\end{enumerate} 
\end{document}

