Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on a tracé la courbe représentative de la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle ainsi que les tangentes à la courbe aux points et .
La tangente en B à la courbe passe par l'origine du repère.
On note la fonction dérivée de la fonction f et la dérivée seconde de la fonction f.
À partir du graphique et des renseignements fournis :
Déterminer et .
Le nombre dérivé est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point or cette tangente passe également par l'origine du repère d'où
Ainsi,
La courbe traverse sa tangente en donc la fonction f change de convexité pour . D'où
Sur quel intervalle la fonction f semble-t-elle convexe ? concave ?
La tangente en un point de la courbe semble être au dessus de la courbe tant que l'abscisse du point est inférieure à 3,5.
La fonction f semble concave sur l'intervalle , puis convexe sur .
La fonction f est définie pour tout réel x élément de l'intervalle par .
Calculer et .
est la fonction définie sur l'intervalle par .
est la fonction définie sur l'intervalle par .
Étudier les variations de la fonction f.
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.
Le discriminant du polynôme du second degré est : donc pour tout réel x,
Pour tout réel x de l'intervalle , donc la fonction f est strictement croissante.
Étudier la convexité de la fonction f.
La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde définie sur l'intervalle par .
x | 0 | 3,5 | 8 | ||
Signe de | − | + |
La fonction f est concave sur l'intervalle et convexe sur .
Que représente le point A pour la courbe ?
La dérivée seconde s'annule en changeant de signe pour donc :
le point est un point d'inflexion pour la courbe .
Une entreprise produit et commercialise un article. Sa capacité de production mensuelle est limitée à 8 milliers d'articles.
La fonction f modélise sur l'intervalle le coût total de production exprimé en milliers d'euros, où x désigne le nombre de milliers d'articles fabriqués.
On note le coût moyen de production exprimé en euros, par article fabriqué. est la fonction définie sur l'intervalle par .
On admet que la fonction est dérivable sur l'intervalle et on appelle sa fonction dérivée.
Calculer , et vérifier que pour tout x de l'intervalle .
Pour tout réel x de l'intervalle ,
Or pour tout réel x,
Ainsi, est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle par .
Étudier les variations de la fonction sur .
Le discriminant du polynôme du second degré est :
donc pour tout réel x, . Par conséquent, sur l'intervalle , est du même signe que .
Les variations de la fonction se déduisent du signe de sa dérivée :
x | 0 | 6 | 8 | |||
− | + | |||||
21 |
En dessous de quel prix de vente unitaire, l'entreprise est-elle sûre de ne faire aucun bénéfice ?
Le coût moyen minimal est obtenu pour une production mensuelle de 6 500 articles et
L'entreprise ne fait aucun bénéfice si le prix de vente d'un article est inférieur à 21 euros.
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