contrôles en terminale ES

contrôle du 15 octobre 2013

Corrigé de l'exercice 2

Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on a tracé la courbe Cf représentative de la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle ]0;8] ainsi que les tangentes à la courbe aux points A(3,5;104,75) et B(6;126).
La tangente en B à la courbe Cf passe par l'origine du repère.

Courbe Cf : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

On note f la fonction dérivée de la fonction f et f la dérivée seconde de la fonction f.

partie a

À partir du graphique et des renseignements fournis :

  1. Déterminer f(6) et f(3,5).

    • Le nombre dérivé f(6) est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point B(6;126) or cette tangente passe également par l'origine du repère d'où f(6)=1266=21

      Ainsi, f(6)=21


    • La courbe Cf traverse sa tangente en A(3,5;104,75) donc la fonction f change de convexité pour x=3,5. D'où f(3,5)=0


  2. Sur quel intervalle la fonction f semble-t-elle convexe ? concave ?

    La tangente en un point de la courbe Cf semble être au dessus de la courbe tant que l'abscisse du point est inférieure à 3,5.

    La fonction f semble concave sur l'intervalle ]0;3,5], puis convexe sur [3,5;8].


partie b

La fonction f est définie pour tout réel x élément de l'intervalle ]0;8] par f(x)=x3-10,5x2+39x+54.

  1. Calculer f(x) et f(x).

    • f est la fonction définie sur l'intervalle ]0;8] par f(x)=3x2-21x+39.

    • f est la fonction définie sur l'intervalle ]0;8] par f(x)=6x-21.


  2. Étudier les variations de la fonction f.

    Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

    Le discriminant du polynôme du second degré 3x2-21x+39 est : Δ=(-21)2-4×3×39=-27Δ<0 donc pour tout réel x, 3x2-21x+39>0

    Pour tout réel x de l'intervalle ]0;8], f(x)>0 donc la fonction f est strictement croissante.


  3. Étudier la convexité de la fonction f.

    La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde définie sur l'intervalle ]0;8] par f(x)=6x-21.

    x03,58
    Signe de 6x-210||+

    La fonction f est concave sur l'intervalle ]0;3,5] et convexe sur [3,5;8].


  4. Que représente le point A pour la courbe Cf ?

    La dérivée seconde s'annule en changeant de signe pour x=3,5 donc :

    le point A(3,5;104,75) est un point d'inflexion pour la courbe Cf.


partie c

Une entreprise produit et commercialise un article. Sa capacité de production mensuelle est limitée à 8 milliers d'articles.
La fonction f modélise sur l'intervalle ]0;8] le coût total de production exprimé en milliers d'euros, où x désigne le nombre de milliers d'articles fabriqués.
On note CM(x) le coût moyen de production exprimé en euros, par article fabriqué. CM est la fonction définie sur l'intervalle ]0;8] par CM(x)=x2-10,5x+39+54x.
On admet que la fonction CM est dérivable sur l'intervalle ]0;8] et on appelle C sa fonction dérivée.

  1. Calculer C(x), et vérifier que C(x)=(x-6)(2x2+1,5x+9)x2 pour tout x de l'intervalle ]0;8].

    Pour tout réel x de l'intervalle ]0;8], C(x)=2x-10,5-54x2=2x3-10,5x2-54x2

    Or pour tout réel x, (x-6)(2x2+1,5x+9)=2x3+1,5x2+9x-12x2-9x-54=2x3-10,5x2-54

    Ainsi, C est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle ]0;8] par C(x)=(x-6)(2x2+1,5x+9)x2.


  2. Étudier les variations de la fonction CM sur ]0;8].

    Le discriminant du polynôme du second degré 2x2+1,5x+9 est :Δ=1,52-4×2×2=-69,75

    Δ<0 donc pour tout réel x, 2x2+1,5x+9>0. Par conséquent, sur l'intervalle ]0;8], C(x) est du même signe que x-6.

    Les variations de la fonction CM se déduisent du signe de sa dérivée :

    x 0 6 8
    C(x)  0||+ 
    CM(x)   fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    21

    fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. 
  3. En dessous de quel prix de vente unitaire, l'entreprise est-elle sûre de ne faire aucun bénéfice ?

    Le coût moyen minimal est obtenu pour une production mensuelle de 6 500 articles et CM(6)=62-10,5×6+39+546=21

    L'entreprise ne fait aucun bénéfice si le prix de vente d'un article est inférieur à 21 euros.



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