contrôle du 15 octobre 2013

Corrigé de l'exercice 3 (spécialité)

1. On considère les matrices suivantes $F=\left(\begin{array}{cccc}3& 2& 2& 1\\ 4& 3& 0& 2\\ 0& 5& 3& 2\end{array}\right)$ et $R=\left(\begin{array}{rrr}10& 15& 3\\ 12& 8& 2\\ 4& 12& 4\\ 3& 5& 1\end{array}\right)$.

   1. Calculer le produit $P=F\times R$.

      $$\left(\begin{array}{cccc}3& 2& 2& 1\\ 4& 3& 0& 2\\ 0& 5& 3& 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{rrr}10& 15& 3\\ 12& 8& 2\\ 4& 12& 4\\ 3& 5& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}65& 90& 22\\ 82& 94& 20\\ 78& 86& 24\end{array}\right)$$

      Ainsi, $P=\left(\begin{array}{ccc}65& 90& 22\\ 82& 94& 20\\ 78& 86& 24\end{array}\right)$

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   2. En déduire le coût de l'énergie (E) nécessaire à la fabrication d'un article B.

      La matrice P donne pour chaque article les coûts par type de ressource. (Les lignes correspondent aux articles et les colonnes aux ressources).

      Le coût de l'énergie (E) nécessaire à la fabrication d'un article B est l'élément de la matrice P situé à l'intersection de la deuxième ligne et de la troisième colonne.

      La fabrication d'un article B coûte 20 euros en énergie.

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2. Calculer le produit $U=P\times \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ et donner une interprétation du résultat.

   $$\left(\begin{array}{ccc}65& 90& 22\\ 82& 94& 20\\ 78& 86& 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}177\\ 196\\ 188\end{array}\right)$$

   Ainsi, $U=\left(\begin{array}{c}177\\ 196\\ 188\end{array}\right)$. La matrice U donne le coût de fabrication de chaque article.

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3. Calculer le produit $V=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\end{array}\right)\times P$ et donner une interprétation du résultat.

   $$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}65& 90& 22\\ 82& 94& 20\\ 78& 86& 24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}225& 270& 66\end{array}\right)$$

   Ainsi, $V=\left(\begin{array}{ccc}225& 270& 66\end{array}\right)$. La matrice V donne les coûts de chaque ressource pour la fabrication d'un article de chaque sorte.

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4. À l'aide d'un produit de matrices, calculer le coût total de la production de quatre articles A, trois articles B et huit articles C.

   Le coût total de la production de quatre articles A, trois articles B et huit articles C est obtenu avec le produit $$\left(\begin{array}{ccc}4& 3& 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}65& 90& 22\\ 82& 94& 20\\ 78& 86& 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}4& 3& 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}177\\ 196\\ 188\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2800\end{array}\right)$$

   Le coût total de la production de quatre articles A, trois articles B et huit articles C est de 2800 euros.

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5. À la fin d'une journée, on a constaté que la dépense pour la fabrication de ces trois articles a été de 14 800 euros pour le travail (T) ; 18 000 euros pour les matières premières (M) et 4 400 euros pour l'énergie (E).
   Déterminer le nombre d'articles A, B et C qui ont été fabriqués au cours de cette journée.

   Soient x le nombre d'articles A, y le nombre d'articles B, z le nombre d'articles C fabriqués dans la journée.

   Soient X et D les matrices $X=\left(\begin{array}{ccc}x& y& z\end{array}\right)$ et $D=\left(\begin{array}{ccc}14800& 18000& 4400\end{array}\right)$. Nous avons :$$\begin{array}{ccc}X\times P=D& \text{Soit}& \left(\begin{array}{ccc}x& y& z\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}65& 90& 22\\ 82& 94& 20\\ 78& 86& 24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}14800& 18000& 4400\end{array}\right)\end{array}$$

   À l'aide de la calculatrice, on constate que la matrice P est inversible et $P^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}-{\displaystyle \frac{1}{15}}& {\displaystyle \frac{1}{30}}& {\displaystyle \frac{1}{30}}\\ {\displaystyle \frac{17}{335}}& {\displaystyle \frac{13}{670}}& -{\displaystyle \frac{21}{335}}\\ {\displaystyle \frac{7}{201}}& -{\displaystyle \frac{143}{804}}& {\displaystyle \frac{27}{804}}\end{array}\right)$. Par conséquent , $\begin{array}{lll}X\times P=D& \iff & X=D\times P^{-1}\end{array}$

   Soit $$\left(\begin{array}{ccc}x& y& z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}14800& 18000& 4400\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{rrr}-{\displaystyle \frac{1}{15}}& {\displaystyle \frac{1}{30}}& {\displaystyle \frac{1}{30}}\\ {\displaystyle \frac{17}{335}}& {\displaystyle \frac{13}{670}}& -{\displaystyle \frac{21}{335}}\\ {\displaystyle \frac{7}{201}}& -{\displaystyle \frac{143}{804}}& {\displaystyle \frac{27}{804}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}80& 60& 60\end{array}\right)$$

   Au cours de cette journée, il a été fabriqué 80 articles A, 60 articles B et 60 articles C.

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