contrôles en terminale ES

contrôle du 15 octobre 2013

thèmes abordés

  • Suite arithmético-géométrique.
  • Dérivées successives d'une fonction, convexité, variation.
  • Matrices.

exercice 1

En raison de l'évaporation, une piscine perd chaque semaine 3 % de son volume d'eau.
On remplit un bassin avec 90 m3 d'eau et, pour compenser la perte due à l'évaporation, on décide de rajouter chaque semaine 2,4 m3 d'eau dans le bassin.

On note un le nombre de m3 d'eau contenu dans ce bassin au bout de n semaines. On a donc u0=90 et, pour tout entier naturel n, un+1=0,97×un+2,4.

  1. On considère la suite vn définie pour tout entier naturel n par vn=un-80.

    1. Démontrer que vn est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

    2. Exprimer vn en fonction de n. En déduire que, pour tout entier naturel n, un=80+10×0,97n.

  2. Étudier la monotonie de la suite un.

  3. Déterminer la limite de la suite un. Interpréter ce résultat.


exercice 2

Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on a tracé la courbe Cf représentative de la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle 08 ainsi que les tangentes à la courbe aux points A3,5104,75 et B6126.
La tangente en B à la courbe Cf passe par l'origine du repère.

Courbe Cf : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

On note f la fonction dérivée de la fonction f et f la dérivée seconde de la fonction f.

partie a

À partir du graphique et des renseignements fournis :

  1. Déterminer f6 et f3,5

  2. Sur quel intervalle la fonction f semble-t-elle convexe ? concave ?

partie b

La fonction f est définie pour tout réel x élément de l'intervalle 08 par fx=x3-10,5x2+39x+54.

  1. Calculer fx et fx.

  2. Étudier les variations de la fonction f.

  3. Étudier la convexité de la fonction f.

  4. Que représente le point A pour la courbe Cf ?

partie c

Une entreprise produit et commercialise un article. Sa capacité de production mensuelle est limitée à 8 milliers d'articles.
La fonction f modélise sur l'intervalle 08 le coût total de production exprimé en milliers d'euros, où x désigne le nombre de milliers d'articles fabriqués.

On note CMx le coût moyen de production exprimé en euros, par article fabriqué. CM est la fonction définie sur l'intervalle 08 par CMx=x2-10,5x+39+54x.
On admet que la fonction CM est dérivable sur l'intervalle 08 et on appelle C sa fonction dérivée.

  1. Calculer Cx, et vérifier que Cx=x-62x2+1,5x+9x2 pour tout x de l'intervalle 08.

  2. Étudier les variations de la fonction CM sur 08.

  3. En dessous de quel prix de vente unitaire, l'entreprise est-elle sûre de ne faire aucun bénéfice ?


exercice 3

Une usine fabrique trois articles A, B et C.
Chacun de ces trois articles est obtenu à partir de quatre produits différents P1, P2, P3 et P4.
La fabrication de chacun des produits nécessite trois ressources : du travail (T) ; des matières premières (M) et de l'énergie (E).

Les deux tableaux suivants présentent les quantités de produits utilisés pour produire chaque article A, B ou C et les coûts des ressources, exprimés en euros, nécessaires à la fabrication de chaque produit.

 TME
 P1P2P3P4 P110153
A3221P21282
B4302P34124
C0532P4351
  1. On considère les matrices suivantes F=322143020532 et R=1015312824124351.

    1. Calculer le produit P=F×R.

    2. En déduire le coût de l'énergie (E) nécessaire à la fabrication d'un article B.

  2. Calculer le produit U=P×111 et donner une interprétation du résultat.

  3. Calculer le produit V=111×P et donner une interprétation du résultat.

  4. À l'aide d'un produit de matrices, calculer le coût total de la production de quatre articles A, trois articles B et huit articles C.

  5. À la fin d'une journée, on a constaté que la dépense pour la fabrication de ces trois articles a été de 14 800 euros pour le travail (T) ; 18 000 euros pour les matières premières (M) et 4 400 euros pour l'énergie (E).
    Déterminer le nombre d'articles A, B et C qui ont été fabriqués au cours de cette journée.



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✉ A.Yallouz

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