contrôles en terminale ES

contrôle du 15 octobre 2013

thèmes abordés

Suite arithmético-géométrique.
Dérivées successives d'une fonction, convexité, variation.
Matrices.

exercice 1

En raison de l'évaporation, une piscine perd chaque semaine 3 % de son volume d'eau.
On remplit un bassin avec 90 m³ d'eau et, pour compenser la perte due à l'évaporation, on décide de rajouter chaque semaine 2,4 m³ d'eau dans le bassin.

On note $u_{n}$ le nombre de m³ d'eau contenu dans ce bassin au bout de n semaines. On a donc $u_{0} = 90$ et, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,97 \times u_{n} + 2,4$ .

On considère la suite $(v_{n})$ définie pour tout entier naturel n par $v_{n} = u_{n} - 80$ .
1. Démontrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
2. Exprimer $v_{n}$ en fonction de n. En déduire que, pour tout entier naturel n, $u_{n} = 80 + 10 \times {0,97}^{n}$ .
Étudier la monotonie de la suite $(u_{n})$ .
Déterminer la limite de la suite $(u_{n})$ . Interpréter ce résultat.

exercice 2

Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on a tracé la courbe $C_{f}$ représentative de la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle $] 0; 8]$ ainsi que les tangentes à la courbe aux points $A (3,5; 104,75)$ et $B (6; 126)$ .
La tangente en B à la courbe $C_{f}$ passe par l'origine du repère.

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction f et $f''$ la dérivée seconde de la fonction f.

partie a

À partir du graphique et des renseignements fournis :

Déterminer $f' (6)$ et $f'' (3,5)$
Sur quel intervalle la fonction f semble-t-elle convexe ? concave ?

partie b

La fonction f est définie pour tout réel x élément de l'intervalle $] 0; 8]$ par $f (x) = x^{3} - 10,5 x^{2} + 39 x + 54$ .

Calculer $f' (x)$ et $f'' (x)$ .
Étudier les variations de la fonction f.
Étudier la convexité de la fonction f.
Que représente le point A pour la courbe $C_{f}$ ?

partie c

Une entreprise produit et commercialise un article. Sa capacité de production mensuelle est limitée à 8 milliers d'articles.
La fonction f modélise sur l'intervalle $] 0; 8]$ le coût total de production exprimé en milliers d'euros, où x désigne le nombre de milliers d'articles fabriqués.

On note $C_{M} (x)$ le coût moyen de production exprimé en euros, par article fabriqué. $C_{M}$ est la fonction définie sur l'intervalle $] 0; 8]$ par $C_{M} (x) = x^{2} - 10,5 x + 39 + \frac{54}{x}$ .
On admet que la fonction $C_{M}$ est dérivable sur l'intervalle $] 0; 8]$ et on appelle $C'$ sa fonction dérivée.

Calculer $C' (x)$ , et vérifier que $C' (x) = \frac{(x - 6) (2 x^{2} + 1,5 x + 9)}{x^{2}}$ pour tout x de l'intervalle $] 0; 8]$ .
Étudier les variations de la fonction $C_{M}$ sur $] 0; 8]$ .
En dessous de quel prix de vente unitaire, l'entreprise est-elle sûre de ne faire aucun bénéfice ?

exercice 3

Une usine fabrique trois articles A, B et C.
Chacun de ces trois articles est obtenu à partir de quatre produits différents $P_{1}$ , $P_{2}$ , $P_{3}$ et $P_{4}$ .
La fabrication de chacun des produits nécessite trois ressources : du travail (T) ; des matières premières (M) et de l'énergie (E).

Les deux tableaux suivants présentent les quantités de produits utilisés pour produire chaque article A, B ou C et les coûts des ressources, exprimés en euros, nécessaires à la fabrication de chaque produit.

						T	M	E
	$P_{1}$	$P_{2}$	$P_{3}$	$P_{4}$	$P_{1}$	10	15	3
A	3	2	2	1	$P_{2}$	12	8	2
B	4	3	0	2	$P_{3}$	4	12	4
C	0	5	3	2	$P_{4}$	3	5	1

On considère les matrices suivantes $F = (\begin{matrix} 3 & 2 & 2 & 1 \\ 4 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 3 & 2 \end{matrix})$ et $R = (\begin{array}{r} 10 & 15 & 3 \\ 12 & 8 & 2 \\ 4 & 12 & 4 \\ 3 & 5 & 1 \end{array})$ .
1. Calculer le produit $P = F \times R$ .
2. En déduire le coût de l'énergie (E) nécessaire à la fabrication d'un article B.
Calculer le produit $U = P \times (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})$ et donner une interprétation du résultat.
Calculer le produit $V = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \end{matrix}) \times P$ et donner une interprétation du résultat.
À l'aide d'un produit de matrices, calculer le coût total de la production de quatre articles A, trois articles B et huit articles C.
À la fin d'une journée, on a constaté que la dépense pour la fabrication de ces trois articles a été de 14 800 euros pour le travail (T) ; 18 000 euros pour les matières premières (M) et 4 400 euros pour l'énergie (E).
Déterminer le nombre d'articles A, B et C qui ont été fabriqués au cours de cette journée.

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