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  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
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% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 15 octobre 2013}}} %gauche
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\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES 3\\Durée 2 heures}}}%droit
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\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

\begin{document}

\exo  \qquad  ( 5,5 \emph{points} )

\medskip
 
En raison de l'évaporation, une piscine perd chaque semaine 3~\% de son volume d'eau. 

On  remplit ce bassin avec $90~\mathrm{m}^3$ d'eau et, pour compenser la perte due à l'évaporation, on décide de rajouter chaque semaine $2,4~\mathrm{m}^3$ d'eau dans le bassin.

On note $u_{n}$ le nombre de $\mathrm{m}^3$ d'eau contenu dans ce bassin au bout de $n$ semaines. 

On a donc $u_{0} =  90$ et, pour tout entier $n$, $u_{n+1}= 0,97 \times u_n + 2,4$.
\begin{enumerate}
\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = u_{n} - 80$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_{n} = 80 + 10 \times  0,97^n$.		
	\end{enumerate} 
	\item \'Etudier la monotonie de la suite  $u_{n}$.
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. Interpréter ce résultat.

 	\end{enumerate} 

\bigskip

\exo \qquad   ( 8 \emph{points} ) 

 \medskip 

Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on a tracé la courbe $C_f$  représentative de la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle  $]0;8]$ ainsi que les tangentes à la courbe aux points $A( 3,5 ; 104,75)$ et $B( 6 ; 126)$. 

La tangente en $B$ à la courbe $C_f$ passe par l'origine du repère.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(34,22)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{x^3-10.5*x^2+39*x+54}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(34,22)
\psset{xunit=2cm, yunit=0.05cm}
\psaxes[linewidth=.75pt,Dx=1,Dy=20,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(8.5,220)
\uput[dl](8.5,0){$x$} \uput[dl](0,220){$y$}
%\uput[dl](0,0){0}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(5,105)(7,147)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(1.38889,100)(5.8333,110)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0}{8}{\f}
\psdots[linecolor=bleu,dotscale=.8](3.5,104.75)(6,126)
\uput[u](3.5,104.75){\bleu{$A$}} \uput[u](6,126){\footnotesize{\bleu{$B$}}}
\uput[r](8,206){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et $f''$ la dérivée seconde de la fonction $f$.  

 \medskip 

\textsf{\small{\textsc{\textbf{partie a}}}}

\medskip

\`A partir du graphique et des renseignements fournis :
	
\begin{enumerate}
	\item Déterminer  $f'(6)$ et $f''(3,5)$ ;
	\item Sur quel intervalle la fonction $f$ semble-t-elle convexe ? concave ?
\end{enumerate}

 \pagebreak

\textsf{\small{\textsc{\textbf{partie b}}}}

\medskip

La fonction  $f$  est définie pour tout réel $x$ élément de l'intervalle $]0;8]$ par $f(x)=x^3-10,5x^2+39x+54$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ et $f''(x)$.
	\item \'Etudier les variations de la fonction $f$.
	\item Étudier la convexité de la fonction $f$.
	\item Que représente le point $A$ pour la courbe $C_f$ ?	
\end{enumerate}
 \medskip 

\textsf{\small{\textsc{\textbf{partie c}}}}

\medskip

Une entreprise produit et commercialise un article. Sa capacité de production mensuelle est limitée à 8 milliers d'articles.

La fonction $f$  modélise sur l'intervalle $]0 ; 8]$ le coût total de production exprimé en milliers d'euros, où $x$ désigne le nombre de milliers d'articles fabriqués.

On note $C_{M}(x)$ le coût moyen de production exprimé en euros, par article fabriqué. $C_{M}$ est la fonction définie sur l'intervalle $]0 ; 8]$ par $C_{M}(x) = x^2-10,5x+39+\dfrac{54}{x}$. 

On admet que la fonction $C_{M}$ est dérivable sur l'intervalle $]0 ; 8]$ et on appelle $C'$ sa fonction dérivée.
\begin{enumerate}
	\item  Calculer $C'(x)$, et vérifier que $C'(x)= \dfrac{(x-6)(2x^2+1,5x+9)}{x^2}$  pour tout $x$ de l'intervalle $]0 ; 8]$. 
	\item \'Etudier les variations de la fonction $C_{M}$ sur $]0 ; 8]$.
		\item En dessous de quel prix de vente unitaire, l'entreprise est-elle sûre de ne faire aucun bénéfice ?

\end{enumerate}

 \bigskip 
 
\exo \qquad   ( 6,5 \emph{points} ) 

 \medskip 

Une usine fabrique trois articles $A$, $B$ et $C$. 

Chacun de ces trois articles est obtenu  à partir de quatre produits différents $P_1$, $P_2$, $P_3$ et $P_4$. 

La fabrication de chacun des produits nécessite trois ressources : du travail $(T)$ ; des matières premières $(M)$ et de l'énergie $(E)$. 

Les deux tableaux suivants présentent les quantités de  produits utilisés pour produire chaque article $A$, $B$ ou $C$ et les coûts des ressources, exprimés en euros, nécessaires à la fabrication de chaque  produit.

\begin{center}
\begin{tabular}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}m{1cm}|}}\cline{2-5}
 \multicolumn{1}{l|}{} & $P_1$ & $P_2$ & $P_3$ & $P_4$ \\ \hline
 $A$ & 3 & 2 & 2 & 1 \\ \hline
 \textit{B} & 4 & 3 & 0 & 2 \\ \hline
  \textit{C} & 0 & 5 & 3 & 2 \\ \hline
\end{tabular}
 \hfill
\begin{tabular}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}m{1cm}|}}\cline{2-4}
 \multicolumn{1}{l|}{} & $T$ & $M$ & $E$  \\ \hline
 $P_1$ & 10 & 15 & 3  \\ \hline
 $P_2$ & 12 & 8 & 2 \\ \hline
 $P_3$ & 4 & 12 & 4  \\ \hline
 $P_4$ & 3 & 5 & 1 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}


\begin{enumerate}
	\item On considère les matrices suivantes $F=\begin{pmatrix} 3 & 2 & 2 & 1 \\ 4 & 3 & 0 & 2\\  0 & 5 & 3 & 2  \end{pmatrix}$ et $R=\begin{pmatrix*}[r] 10 & 15 & 3 \\ 12 & 8 & 2\\  4 & 12 & 4\\ 3 & 5 & 1 \end{pmatrix*}$.	 
	\begin{enumerate}
	\item Calculer le produit $P=F \times R$.
	\item En déduire le coût de l'énergie $(E)$ nécessaire à la fabrication d'un article $B$.
	\end{enumerate}
	\item Calculer le produit $U=P \times \begin{pmatrix}  1 \\ 1\\  1  \end{pmatrix}$ et donner une interprétation du résultat.
	\item Calculer le produit $V=\begin{pmatrix}  1 & 1&  1  \end{pmatrix} \times P$ et donner une interprétation du résultat.
\item \`A l'aide d'un produit de matrices, calculer le coût total de la production de quatre articles $A$, trois articles $B$ et huit articles $C$.
\item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\`A la fin d'une journée, on a constaté que la dépense pour la fabrication de ces trois articles a été de \np{14800} euros pour le travail $(T)$ ; \np{18000} euros  pour les matières premières $(M)$ et \np{4400} euros   pour l'énergie $(E)$.

Déterminer le nombre d'articles $A$, $B$ et $C$ qui ont été fabriqués au cours de cette journée.
\end{enumerate}
\end{document}
