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  \stepcounter{nexo} 
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% en-tête
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\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

\begin{document}

\exo  \qquad  ( 3 \emph{points} ) 

 \medskip 


Déterminer la fonction polynôme du second degré dont la courbe représentative est la parabole $\mathcal{C}_f$ passant par les points $A(-1;-3)$, $B(3;-5)$ et $C(4;-13)$

 \bigskip 
 
\exo  \qquad  ( 2,5 \emph{points} ) 

 \medskip 


Simplifier les expressions suivantes :

$A(x)=\dfrac{\e^{2-x}}{\e^{1-2x}}$ ; \hfill $B(x)= 2^{2x+1}\times 0,5^{2x-1}$ ; \hfill $C(x)=\dfrac{1}{\e^{x}}+\left(1-\e^{x}\right)\left(1-\e^{-x}\right)$ .  


 
 \bigskip 
 
\exo  \qquad ( 4 \emph{points} ) 

\medskip
 
 \begin{center}
 \emph{Les deux questions suivantes sont indépendantes.}
 \end{center}
 
\begin{enumerate}
\item En raison de l'évaporation, un bassin contenant  $95~\mathrm{m}^3$ d'eau perd chaque semaine 3~\% de son volume d'eau. 

Modéliser l'évolution du volume d'eau contenue dans le bassin à l'aide d'une fonction $f$ de la forme \[f(x)=k\times q^x\]

Préciser les valeurs de $k$ et de $q$, et donner le sens de variation de la fonction $f$. 
\item En trois mois, le cours d'une action a augmenté de 12\%.

Calculer le taux d'évolution mensuel moyen du cours de cette action pendant les trois mois. (Donner le résultat arrondi à 0,01 \% près)

 	\end{enumerate}

\bigskip

\exo  \qquad ( 4 \emph{points} ) 

 \medskip 
 
 Dans chacun des cas suivants, calculer la dérivée de la fonction $f$
 
 \begin{enumerate}
 \item $f$ est définie sur $]0; +\infty[$ par $f(x)=\dfrac{\e^x+1}{x}$
 \item $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)=\e^{x}-\dfrac{1}{\e^{x}}$
 \item $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)=\e^{x^2-x+1}$
 \end{enumerate}
 
\bigskip


\exo  \qquad ( 6,5 \emph{points} ) 

 \medskip 

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$  par $f(x) =(4-2x)\times\e^{-0,5x}$. 

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et $f''$ la dérivée seconde de la fonction $f$. 

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout nombre réel $x$,  on a : $f'(x) = (x-4)\times\e^{-0,5x}$.
	\item \'Etudier les variations de la fonction $f$.	
\end{enumerate}
\item Montrer que l'équation $f(x)=1$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[0; 2]$. 

Donner une valeur arrondie à $10^{-2}$ près de $\alpha$.
\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d'abscisse 0.
\item \begin{enumerate}
 \item \'Etudier la convexité de la fonction $f$.
 \item La courbe représentative de la fonction $f$  a-t-elle un point d'inflexion ? Si oui, donner ses coordonnées.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}
