\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amsthm,amssymb,amsbsy,amscd,mathrsfs}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet} % ss
\usepackage{textcomp}
\usepackage{dsfont} % pour les symboles des ensembles
\usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2.5cm]{geometry}
\usepackage{fancyhdr} 
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{26pt}
\setlength{\footskip}{18pt}
\renewcommand {\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand {\footrulewidth}{0pt}
\usepackage{lastpage}
%\usepackage{makeidx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{hyperxmp}
\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\pagestyle{fancy}
\usepackage{array}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{hhline}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{mathtools} %pour l'alignement des termes d'une matrice
\usepackage{fltpoint}
\usepackage{xcolor,colortbl}
\usepackage{pstricks,pst-all,pst-plot,pstricks-add,pst-tree,pst-3dplot,pst-func}
\usepackage{ifthen}
\usepackage{calc}
\usepackage{esvect}
\usepackage{pifont}
\usepackage[np]{numprint}
\setlength{\parindent}{0mm}
\usepackage [alwaysadjust]{paralist}
\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty=10000 
\tolerance=2000
\emergencystretch=1em
\widowpenalty=10000
\clubpenalty=10000
\raggedbottom
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\newcommand{\Oij}{\ensuremath{\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)}}
\newcommand{\Oijk}{\ensuremath{\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}} \right)}}
\newcommand{\euro}{\texteuro{}}
\newcommand{\R}{\mathds {R}}
%\newcommand{\C}{\mathds {C}}
\newcommand{\N}{\mathds {N}}
\newcommand{\Z}{\mathds {Z}}
\newcommand{\Q}{\mathds {Q}}
\newcommand{\e}{\mathrm {e}}
\newcommand{\dd}{\,\mathrm{d}}
\DecimalMathComma

\newcounter{nexo}    % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 11 janvier 2014}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{contrôle \no 4}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES 3\\Durée 1 heure 30}}}%droit
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

\begin{document}

\exo  \qquad  ( 4 \emph{points} ) 
 
 \medskip 
 
\begin{enumerate}
	\item Le cours de l'or est passé de \np{1660} \$ l'once au 1\textsuperscript{er} janvier 2013 à \np{1214} \$ l'once au 31 décembre 2013.
	
	Quel a été le pourcentage d'évolution mensuel moyen du cours de l'or en 2013 ?

		\item D'une année sur l'autre, un produit perd 6\% de sa valeur. 
		
		Au bout de combien d'années ce produit aura-t-il perdu plus de 60\% de sa valeur initiale ?

	\end{enumerate}

\bigskip

\exo  \qquad  ( 10 \emph{points} ) 

\medskip

Soit $f$  la fonction définie sur $I = ]0 ; + \infty[$ par $f(x)=1+\dfrac{\ln x}{x}$. 


Sa courbe représentative, notée  $\mathcal{C}_f$, est tracée dans un repère orthonormé en annexe ci-dessous. 
	
\medskip	

\begin{enumerate}
\item 	On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. 

\begin{enumerate}

\item Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif, $f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$.
\item Étudier le signe de la fonction dérivée  $f'$  sur l'intervalle $I$. 
\item Recopier et compléter le tableau des variations de $f$ sur $I$.
\begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(14,3)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(14,3) \psline(3.2,0)(3.2,3) \psline(0,2.2)(14,2.2)\psline(0,1.4)(3.4,1.4) \psline(3.6,1.4)(14,1.4)
\psline(3.4,0)(3.4,2.2) \psline(3.6,0)(3.6,2.2)
\rput(1.6,2.6){$x$}\rput(3.5,2.6){$0$} \rput(8.5,2.6){$\cdots$} \rput(13.5,2.6){$+\infty$}
\rput(1.6,1.8){signe de $f'(x)$} \rput(6,1.8){$\cdots$} \pnode(8.5,2.2){m1}\pnode(8.5,1.4){m2}
\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{m1}{m2}\ncput*{0}\rput(11,1.8){$\cdots$} 
\rput(1.6,.7){variations de $f$} \rput(4,.3){$-\infty$}  \rput(13.5,.3){$1$} 

\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}
 \item Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $]0 ; + \infty[$.
 
 \`A l'aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie à $10^{-2}$ près, de $\alpha$.
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ d'abscisse 1.

Tracer sur le graphique donné en annexe, la tangente $T$.

\item La dérivée seconde de la fonction $f$ est la fonction $f''$ définie pour tout réel $x$ strictement positif par \[f''(x)=\dfrac{2\ln x-3}{x^3}\]

Étudier la convexité de la fonction $f$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-8)(20,8)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{1+ln(x)/x}
\rput(9,7){\small{\textsf{\textsc{\textbf{annexe}}}}}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-2,-8)(20,6)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.999,-4)(10,3)
\uput[dl](10,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,3){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{.265}{10}{\f}
\uput[l](10,1.5){\textcolor{bleu}{\footnotesize $\mathcal{C}_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}
	 
\pagebreak
 
\exo  \qquad  ( 6 \emph{points} ) 

\begin{center}
\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}
\end{center}

\textsf{\small{\textsc{\textbf{partie a}}}}

\medskip

Une agence de tourisme a sélectionné neuf sites à visiter dans une agglomération. 

Le graphe suivant modélise une partie du plan de l'agglomération. 

Les arêtes du graphe représentent les rues permettant un accès à un site (*) et les sommets du graphe les carrefours.



 \begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
 \psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-.2,-.2)(7.2,3.2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{linewidth=1pt,linecolor=bleu}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\cnodeput(0,0){A} {\small{\bleu\sf{A}}}\cnodeput(3.5,3){B}{\small{\bleu\sf{B}}} 
\cnodeput(7,0){C}{\small{\bleu\sf{C}}} \cnodeput(2,1){D}{\small{\bleu\sf{D}}}\cnodeput(5,1){E}{\small{\bleu\sf{E}}} 
\ncline{D}{B}\ncput*{\prune\footnotesize{*}} \ncline{B}{E}\ncput*{\prune\footnotesize{*}}\ncline{E}{D}\ncput*{\prune\footnotesize{*}}\ncline{D}{A}\ncput*{\prune\footnotesize{*}}\ncline{A}{B}\ncput*{\prune\footnotesize{*}} \ncline{B}{C}\ncput*{\prune\footnotesize{*}}\ncline{C}{E}\ncput*{\prune\footnotesize{*}} \ncline{E}{A}\ncput*{\prune\footnotesize{*}}\ncline{A}{C}\ncput*{\prune\footnotesize{*}} 
\end{pspicture}
\end{center}
 
 

\begin{enumerate}
\item Quel est l'ordre du graphe ? Ce graphe est-il complet ? 
\item Combien y a-t-il de chaînes de longueur 3 commençant en  C et finissant en D ?

\item  Est-il possible de visiter les neuf sites en n'empruntant chaque rue qu'une seule fois ? si oui donner un exemple de parcours possible.
\end{enumerate}

 \medskip 

\textsf{\small{\textsc{\textbf{partie b}}}}

\medskip
 On considère l'automate $G$ défini par le graphe étiqueté ci-dessous.
 
 Un mot reconnu par l'automate est formé de lettres qui se  succèdent sur un chemin du graphe orienté, en partant du sommet 0 et en sortant au sommet 3.
 
  \begin{center}
\psset{xunit=4cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.3,-2)(3.4,1.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{dotstyle=Bo,dotscale=1.25,linewidth=1pt, linecolor=bleu,arrowsize=2pt 3}
\def \boucle#1#2{\psbezier{->}(-.04,.25)(-.25,1.2)(.25,1.2)(.04,.25)\rput{#1}(0,1.2){\prune{#2}}}
\cnodeput(0,0){e0}{$0$}\cnodeput(1,0){e1}{$1$}\cnodeput(2,0){e2}{$2$}\cnodeput[doubleline=true](3,0){e3}{$3$}
\rput(0,0){\boucle{0}{$a$} }
\rput{180}(0,0){\boucle{-180}{$c$}}
\rput(1,0){\boucle{0}{$b$}}
\rput(3,0.1){\boucle{0}{$a$}}
\rput{-90}(3.02,0){\boucle{90}{$b$}}
\rput{180}(3,-0.1){\boucle{-180}{$c$}}
\psline[linewidth=1.5pt,arrowsize=2pt 3]{->}(-.3,0)(-.1,0)
\ncarc[arcangle=25]{->}{e0}{e1}\naput{\prune{$b$}}
\ncarc[arcangle=25]{->}{e1}{e0}\naput{\prune{$c$}}
\ncarc[arcangle=25]{->}{e1}{e2}\naput{\prune{$a$}}
\ncarc[arcangle=25]{->}{e2}{e3}\naput{\prune{$c$}}
\ncarc[arcangle=44]{->}{e2}{e0}\naput{\prune{$a$}}
\ncarc[arcangle=25]{->}{e2}{e1}\naput{\prune{$b$}}
\end{pspicture}
\end{center}

 
 \begin{enumerate}
 

 \item Parmi les mots suivants, quels sont ceux qui sont reconnus par l'automate.
 
 \emph{abc} \hfill \emph{babac} \hfill \emph{abacab} \hfill \emph{cababab} \hfill \emph{bacabac} \hfill \emph{acabbacab}
 \item Recopier et compléter la matrice d'adjacence $M$ associée au graphe.
 \[ M= \begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & \cdots & \cdots \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 
\cdots & \cdots & \cdots & 3 \\ 
\end{pmatrix}
\]
 \item \begin{enumerate}
 \item Quel est le mot le plus court reconnu par l'automate ?
 \item Quel est le nombre de mots de 4 lettres reconnus par l'automate ? Quels sont ces mots ?
 \end{enumerate}
  
 \end{enumerate}



\end{document}
