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\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\newcommand{\Oij}{\ensuremath{\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)}}
\newcommand{\Oijk}{\ensuremath{\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}} \right)}}
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\DecimalMathComma

\newcounter{nexo}    % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 8 avril 2014}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{entraînement au baccalauréat  :  mathématiques}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES \\spécialité}}}%droit
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

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\SetWatermarkText{\textbf{\textsf{SPÉCIALITÉ}}}

\begin{document}
\begin{titlepage}

{\fbox{\parbox{\linewidth}{
\bigskip
\begin{center}
{\Huge\textsf{\textbf{ÉPREUVES D'ENTRAÎNEMENT AU BACCALAURÉAT}}}
\end{center}
\bigskip
}
}}
\vspace{\stretch{.5}}

\begin{center}
{\huge{\textsf{\textbf{Lycée JANSON DE SAILLY}}}}

\vspace{\stretch{1}}

\rule{5cm}{1pt} 

\vspace{\stretch{.5}}

{\Huge{\textsf{\textbf{MATHÉMATIQUES - Série ES}}}}

\vspace{\stretch{.5}}

\rule{5cm}{1pt} 

\vspace{\stretch{1}}

{\Large{\textsc{Durée de l'épreuve :} 3 heures -- \textsc{Coefficient 7}}

\vspace{\stretch{1}}

{\textbf{Le sujet comporte \pageref{LastPage} pages numérotées de 1 à \pageref{LastPage}}}

\vspace{\stretch{1}}

{L'utilisation de la calculatrice est autorisé}}
%\end{center}

\vspace{\stretch{3}}

\hrulefill

\bigskip
Le candidat doit traiter tous les exercices. 

Il est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
  
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. 
  


\hrulefill

\end{center}
 \end{titlepage}

\exo \qquad  ( 5 \textit{points} )   \hfill \emph{Commun à tous les élèves}

 \medskip 


La courbe $\mathcal{C}_f$ tracée ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$. 

La tangente $T$  à la courbe  $\mathcal{C}_f$ au point $A$ passe par le point de coordonnées $(4 ; 3)$.

On note $f'$ la dérivée de la fonction fonction $f$ et $F$ une primitive de la fonction fonction $f$.
	
	\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-3.5)(7,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x+1)^2*(5-x)/12}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{-1}{5}{\f} \gsave
\psline(4,0)(1,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb,addfillstyle=vlines,hatchcolor=bleu,hatchwidth=0.5pt] \grestore }
\psset{unit=.5cm}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-10,-7)(14,8)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5,-3.5)(7,4)
\uput[dl](7,0){$x$} \uput[dl](0,4){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-3.391}{5.885}{\f}
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune]{<->}(2,2.67)(4,2.67)
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune]{<->}(3.7,3.9)(6.1,-3.3)
\uput[ur](5,0){\bleu{$A$}}
\psdot[linecolor=bleu,dotscale=.8](5,0)
\uput[dr](-4,4){\small{\bleu{$C_{f}$}}}
\uput[dr](4,4){\small{\prune{$T$}}}
\end{pspicture}
\end{center}



	\begin{enumerate}
	\item  Déterminer $f'(3)$ et $f'(5)$.
		\item Donner le tableau de variations de la fonction $F$. 
		\item Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f'$ et une autre celle de la fonction $F$. 
		
		Déterminer la courbe associée à la fonction $f'$ et celle qui est associée à  la fonction $F$. 

\begin{center}
\psset{unit=.45cm}
\begin{pspicture}(-6,-6)(12,4)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-6)(12,4)
\psset{unit=.9cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-3)(6,2)
\uput[dl](6,0){$x$} \uput[dl](0,2){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\def\g{.25*(3-x)*(x+1)}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-3}{5}{\g}
\uput[ur](2.5,.5){\small{\prune{$C_1$}}}
\end{pspicture}\hfill
\psset{unit=.45cm}
\begin{pspicture}(-6,-4)(12,6)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-4)(12,6)
\psset{xunit=.9cm,yunit=.45cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(-3,-4)(6,6)
\uput[dl](6,0){$x$} \uput[dl](0,6){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\def\g{(x-3)^2*(-1-x)/8}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-2.55}{5.26}{\g}
\uput[ur](5,-3){\small{\prune{$C_2$}}}
\end{pspicture}

\medskip

\psset{unit=.45cm}
\begin{pspicture}(-8,-7)(16,6)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-7)(16,6)
\psset{xunit=.9cm,yunit=.45cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-7)(8,6)
\uput[dl](8,0){$x$} \uput[dl](0,6){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\def\g{(4*x^3+18*x^2+20*x-x^4-233)/48}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-3.11}{7.17}{\g}
\uput[ur](7,-5){\small{\prune{$C_3$}}}
\end{pspicture}
\end{center}
\item La courbe représentative de la fonction $F$ admet-elle des points d'inflexion ?
\item Donner une valeur approchée (en unité d'aire) de l'aire du domaine colorié
\end{enumerate}	

\pagebreak
 
 \exo \qquad  ( 5 \textit{points} )  \hfill \emph{Commun à tous les élèves}
 
\begin{center}
\emph{D'après sujet bac Amérique du Sud 2013}
\end{center}

 \medskip 


Dans un pays, suite à une élection, un institut de sondage publie chaque mois la cote de popularité du président (c'est-à-dire le pourcentage de personnes ayant une opinion favorable à l'action qu'il mène). Ce sondage résulte d'une enquête réalisée auprès d'un échantillon de la population du pays.
 
Les enquêtes réalisées révèlent que d'un mois à l'autre :

 
\begin{itemize}
\item 6\,\% des personnes qui étaient favorables ne le sont plus ; 
\item 4\,\% des personnes qui n'étaient pas favorables le deviennent.
\end{itemize}
 
On interroge au hasard une personne dans la population du pays et on note :

\begin{itemize}
\item $F_{0}$ l'évènement \og la personne interrogée a une opinion favorable dès l'élection du président \fg{} de 
probabilité $p_{0}$ et $\overline{F_{0}}$ son évènement contraire ; 
\item $F_{1}$ l'évènement \og la personne interrogée le 1\up{er} mois a une opinion favorable \fg{} de probabilité $p_{1}$ et $\overline{F_{1}}$ son évènement contraire.
\end{itemize}
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant. 

 \begin{center}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\pstree[treemode=R,levelsep=3cm,labelsep=1pt,nodesepB=1.5pt,linecolor=bleu]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=1.5pt]{\TR{\bleu $F_{0}$}\taput{\bleu $p_0$}}
	  {\TR{\bleu $F_{1}$}\taput{\prune $\cdots$}
		  \TR{\bleu $\overline{F_{1}}$}\tbput{\prune $\cdots$}	   
	  }
	\pstree[nodesepA=1.5pt]{\TR{\bleu $\overline{F_{0}}$}\tbput{\prune $\cdots$}}
	  {\TR{\bleu $F_{1}$}\taput{\bleu $0,04$}
		  \TR{\bleu $\overline{F_{1}}$}\tbput{\prune $\cdots$}
	  }
	
}
\end{center} 
		\item Montrer que $p_{1} =  0,9 p_{0} + 0,04$. 
	\end{enumerate} 
	\end{enumerate}
	
\medskip

\emph{Pour la suite de l'exercice, on donne $p_{0} = 0,55$ et on note, pour tout entier naturel $n$, $F_{n}$ l'évènement \og  la personne interrogée le $n$-ième mois a une opinion favorable \fg{} et $p_{n}$ sa probabilité.}

 
\emph{On admet de plus, que pour tout entier naturel $n$, $p_{n+1} = 0,9 p_{n} + 0,04$.} 
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l X|}\hline 
\textbf{Variables :}& $I$ et $N$ sont des entiers naturels\\
& $P$ est un nombre réel\smallskip\\
\textbf{Entrée :}&Saisir $N$\smallskip\\
\textbf{Initialisation :}&$P$ prend la valeur $0,55$\smallskip\\
\textbf{Traitement :} & Pour $J$ allant de $1$ à $N$\\ 
& \hspace{1em} $P$ prend la valeur $0,9P + 0,04$\\
& Fin Pour
\smallskip\\
\textbf{Sortie :}&Afficher $P$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire ce qu'affiche cet algorithme lorsque l'utilisateur entre la valeur $N = 1$. 
		\item Donner le rôle de cet algorithme.
	\end{enumerate} 
\item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $u_{n} = p_{n} - 0,4$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison 0,9 et préciser la valeur de son premier terme $u_{0}$. 
		\item En déduire l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ puis l'expression de $p_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$ et interpréter le résultat.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $0,15 \times 0,9^n + 0,4 \leqslant  0,45$. 
		\item Interpréter le résultat trouvé.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\pagebreak

\exo  \qquad  ( 5 \textit{points} )  \hfill \emph{Élèves ayant suivi l'enseignement de spécialité ES}

 \medskip 


On considère le graphe ci-dessous :

\begin{center}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm, linecolor=bleu,linewidth=1pt}
\begin{pspicture}(0,0)(6,6)
\cnodeput(0,0){A}{\bleu{\footnotesize{\textsf{A}}}}
\cnodeput(5,1){B}{\bleu{\footnotesize{\textsf{B}}}}
\cnodeput(6,0){C}{\bleu{\footnotesize{\textsf{C}}}}
\cnodeput(3,6){D}{\bleu{\footnotesize{\textsf{D}}}}
\cnodeput(4,2){E}{\bleu{\footnotesize{\textsf{E}}}}
\cnodeput(3,4){F}{\bleu{\footnotesize{\textsf{F}}}}
\cnodeput(2,2){G}{\bleu{\footnotesize{\textsf{G}}}}
\ncline{-}{A}{B} \ncline{-}{A}{C} \ncline{-}{A}{D} \ncline{-}{A}{G} \ncline{-}{B}{C} \ncline{-}{B}{D}  \ncline{-}{B}{E} \ncline{-}{C}{D} \ncline{-}{D}{E}  \ncline{-}{D}{G} \ncline{-}{E}{F} \ncline{-}{E}{G} \ncline{-}{F}{G}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item On appelle $M$ la matrice associée à ce graphe, les sommets étant pris dans l'ordre alphabétique. 

Une des trois matrices $R$, $S$ ou $T$ est la matrice $M^3$.
	
	\begin{center}
	 $R = {\begin{pmatrix}
   4 & 2 & 2 & 3 & 3 & 4 & 1  \\
   2 & 4 & 2 & 3 & 1 & 1 & 3  \\
   2 & 2 & 3 & 2 & 2 & 0 & 2  \\
   3 & 3 & 2 & 5 & 2 & 2 & 2  \\
   3 & 1 & 2 & 2 & 4 & 1 & 2  \\
   1 & 1 & 0 & 2 & 1 & 2 & 1  \\
   1 & 4 & 2 & 2 & 2 & 1 & 4  \\
 \end{pmatrix} }$
 \hfill
 $S = \left( {\begin{array}{*{20}r}
   8 & 12 & 9 & 12 & 7 & 4 & 11 \\
   12 & 8 & 9 & 12 & 11 & 4 & 7 \\
   9 & 9 & 6 & 11 & 6 & 4 & 6 \\
   12 & 12 & 11 & 12 & 12 & 4 & 12 \\
   7 & 11 & 6 & 12 & 6 & 6 & 10 \\
   4 & 4 & 4 & 4 & 6 & 2 & 6 \\
   11 & 7 & 6 & 12 & 10 & 6 & 6 \\
\end{array} } \right)$
 \hfill
$T = {\begin{pmatrix}
   4 & 1 & 2 & 2 & 3 & 4 & 1  \\
   2 & 4 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3  \\
   1 & 2 & 3 & 2 & 2 & 1 & 2  \\
   3 & 3 & 2 & 6 & 3 & 2 & 3  \\
   2 & 1 & 2 & 3 & 4 & 2 & 2  \\
   2 & 2 & 1 & 2 & 2 & 3 & 2  \\
   2 & 3 & 2 & 3 & 2 & 2 & 4  \\
 \end{pmatrix} }$
	\end{center}
	
	Sans calculer la matrice $M^3$, indiquer quelle est la matrice $M^3$ en justifiant votre choix.
\item Ce graphe est-il complet ? Ce graphe est-il connexe ? 
\item Ce graphe admet-il une chaîne eulérienne ? Justifier la réponse. Si oui donner une telle chaîne. 

\item Un représentant, a modélisé à l'aide du graphe ci-dessous le réseau routier reliant différents clients notés A, B, C, D, E, F et G. Les arêtes sont pondérés par les distances en kilomètre à parcourir.

\begin{center}
	\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
	
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm, linecolor=bleu,linewidth=1pt}
\begin{pspicture}(0,0)(6,6.1)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\cnodeput(0,0){A}{\bleu{\footnotesize{\textsf{A}}}}
\cnodeput(5,1){B}{\bleu{\footnotesize{\textsf{B}}}}
\cnodeput(6,0){C}{\bleu{\footnotesize{\textsf{C}}}}
\cnodeput(3,6){D}{\bleu{\footnotesize{\textsf{D}}}}
\cnodeput(4,2){E}{\bleu{\footnotesize{\textsf{E}}}}
\cnodeput(3,4){F}{\bleu{\footnotesize{\textsf{F}}}}
\cnodeput(2,2){G}{\bleu{\footnotesize{\textsf{G}}}}
\ncline{-}{A}{B}\mput*{\prune{\textsf{30}}}
\ncline{-}{A}{C}\mput*{\prune{\textsf{35}}}
\ncline{-}{A}{D}\mput*{\prune{\textsf{9}}}
\ncline{-}{A}{G}\mput*{\prune{\textsf{8}}}
\ncline{-}{B}{C}\mput*{\prune{\textsf{6}}}
\ncline{-}{B}{D}\mput*{\prune{\textsf{38}}}
\ncline{-}{B}{E}\mput*{\prune{\textsf{8}}}
\ncline{-}{C}{D}\mput*{\prune{\textsf{43}}}
\ncline{-}{D}{E}\mput*{\prune{\textsf{29}}}
\ncline{-}{D}{G}\mput*{\prune{\textsf{18}}}
\ncline{-}{E}{F}\mput*{\prune{\textsf{6}}}
\ncline{-}{E}{G}\mput*{\prune{\textsf{11}}}
\ncline{-}{F}{G}\mput*{\prune{\textsf{5}}}
\end{pspicture}
\end{center}

Après avoir visité le client C, ce représentant souhaite se rendre chez le client D.
\begin{enumerate}
\item En précisant la méthode utilisée, déterminer le trajet le plus court (en kilomètres) pour aller de C à D. Préciser la longueur en kilomètres de ce trajet. 
\item Existe-t-il un parcours de même distance permettant à ce représentant de visiter tous ses clients ? 
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\pagebreak

 \exo \qquad  ( 5 \textit{points} )  \hfill \emph{Commun à tous les élèves}
 
 \begin{center}
 \emph{D'après sujet bac  2013}
 \end{center}

 \medskip 


Dans un laboratoire, des scientifiques ont étudié pendant 10 ans l'effet de la pollution sur une population d'insectes car ils craignaient l'extinction de cette espèce. 

L'étude a été effectuée sur un échantillon de \np{25000} insectes.

\medskip 
Les deux parties peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a :}}}

\medskip
 
Une étude a permis de montrer que la population d'insectes diminue très rapidement lors des quatre premières années. La population peut être modélisée par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~4]$ par $f(t) = 25\e^{-0,5t}$, où $t$ est le temps exprimé en années et $f(t)$ le nombre de milliers d'insectes.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer le pourcentage de diminution du nombre d'insectes la première année. Arrondir à 1\,\%. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $[0~;~4]$ par $F(t) = -50\e^{-0,5t}$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~4]$. 
		\item Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_{2}^4  25\e^{-0,5t}\:\mathrm{d}t$. 
		\item En déduire la population moyenne d'insectes entre le début de la deuxième et le début de la quatrième année.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b :}}}

\medskip
 
Après de longues recherches, un biologiste a mis au point un traitement pour essayer de sauver cette espèce. Ce traitement est administré aux insectes à partir de la quatrième année.
 
L'évolution de la population est alors modélisée par la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[4~;~10]$ par : 

\[g(t) = 20\e^{-0,1t^2} + t - 4,65.\]
 
\begin{enumerate}
\item On désigne par $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$.
 
Montrer que pour tout réel $t$ de l'intervalle $[4~;~10]$, $g'(t) = - 4t\e^{-0,1t^2} + 1$. 
\item On admet que la fonction $g'$ est continue et strictement croissante sur l'intervalle $[4~;~10]$.
 
Montrer que l'équation $g'(t) = 0$ a une solution et une seule $\alpha$ dans l'intervalle $[4~;~10]$. 

Donner la valeur arrondie au dixième de $\alpha$. 
\item	\begin{enumerate}
		\item En déduire le signe de $g'(t)$ sur l'intervalle $[4~;~10]$. 
		\item Donner le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $[4~;~10]$. 
		\item Que peut-on supposer quant à l'effet du traitement sur la population d'insectes ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\end{document}
