contrôles en terminale ES

contrôle du 10 mai 2014

Corrigé de l'exercice 1

Une entreprise fabrique en grande quantité des tubes en aluminium.
La longueur des tubes est exprimée en millimètres. Un tube est dit « conforme pour la longueur » lorsque celle-ci appartient à l'intervalle [245;255].

partie a

Dans cette partie, on considère que 5 % des tubes ne sont pas conformes pour la longueur.
On prélève au hasard 50 tubes dans le stock. Le stock est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50 tubes.
On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 50 tubes, associe le nombre de tubes qui ne sont pas conformes pour la longueur.

  1. Calculer l'espérance mathématique E(X) et l'écart type σ(X) de la variable aléatoire X.

    Le prélèvement est assimilé à un tirage avec remise de 50 tubes donc X suit la loi binomiale de paramètres 50 et 0,05. D'où E(X)=50×0,05=2,5etσ(X)=50×0,05×0,951,541

    L'espérance mathématique E(X)=2,5 et l'écart type σ(X)1,5


  2. Calculer la probabilité P(X=2). Interpréter le résultat.

    X suit la loi binomiale de paramètres 50 et 0,05 d'où :p(X=2)=(502)×0,052×(1-0,05)480,261

    Arrondie au millième près, la probabilité que dans un lot de 50 tubes on trouve deux tubes qui ne sont pas conformes pour la longueur est 0,261.


  3. Calculer la probabilité que dans un tel prélèvement deux tubes au moins ne sont pas conformes pour la longueur.

    Dans le cas d'une loi binomiale, la calculatrice permet d'obtenir la probabilité p(Xk)

    L'évènement « deux tubes au moins ne sont pas conformes pour la longueur » est l'évènement contraire de l'évènement « au plus un tube n'est pas conforme pour la longueur ». D'où p(X2)=1-p(X1)0,721

    Arrondie au millième près, la probabilité que dans un lot de 50 tubes on trouve plus de deux tubes qui ne sont pas conformes pour la longueur est 0,721.


partie b

On désigne par Y la variable aléatoire qui, à chaque tube pris au hasard dans la production d'une journée, associe sa longueur.
On admet que la variable aléatoire Y suit la loi normale de moyenne 250 et d'écart type 2,5.

  1. Calculer la probabilité qu'un tube prélevé au hasard dans la production d'une journée soit conforme pour la longueur.

    Un tube est conforme pour la longueur lorsque celle-ci appartient à l'intervalle [245;255]. À l'aide de la calculatrice, on obtient : P(245Y255)0,954

    Arrondie au millième près, la probabilité qu'un tube prélevé au hasard dans la production d'une journée soit conforme pour la longueur est 0,954.


  2. Le contrôle de conformité mis en place rejette les tubes dont la longueur est inférieure à 245 millimètres.
    Quelle est la probabilité pour qu'un tube prélevé au hasard dans la production d'une journée soit rejeté par le contrôle de conformité ?

    Loi normale : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    La calculatrice permet de déterminer la probabilité P(aXb) quand X suit la loi normale d'espérance μ=250 et d'écart-type σ=2,5 : P(X<245)=0,5-P(245X250)0,023

    Arrondie au millième près, la probabilité qu'un tube soit rejeté par le contrôle de conformité est 0,023.


partie c

Le cahier des charges établit que la proportion dans la production de 2 % de tubes refusés par le contrôle de conformité est acceptable.
On veut savoir si une machine de production est correctement réglée. Pour cela on prélève au hasard dans la production un échantillon de taille 250 dans lequel 6 tubes se révèlent être non conformes.

  1. Donner l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence des tubes non conformes dans un échantillon de taille 250.

    La proportion p dans la production de tubes refusés par le contrôle de conformité acceptable est égale à 0,02. La taille n de l'échantillon considéré est égale à 250.

    Comme n=250, n×p=250×0,02=5 et n×(1-p)=250×0,98=245, les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 est : I=[0,02-1,96×0,02×0,98250;0,02+1,96×0,02×0,98250]

    Soit en arrondissant à 10-3 près les bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence des tubes non conformes dans un échantillon de taille 250 est I=[0,003;0,037].


  2. La machine de production doit-elle être révisée ? Justifier votre réponse.

    La fréquence observée des tubes non conformes dans l'échantillon est f=6250=0,024

    La fréquence observée appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%. La machine n'a pas besoin d'être révisée.



Rechercher des exercices regoupés par thème


[ Accueil ]


Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.