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\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\newcommand{\Oij}{\ensuremath{\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)}}
\newcommand{\Oijk}{\ensuremath{\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}} \right)}}
\newcommand{\euro}{\texteuro{}}
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\DecimalMathComma

\newcounter{nexo}    % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 29 septembre 2014}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{contrôle \no 1}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES 2\\Durée 1 heure 30}}}%droit
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

\begin{document}

\exo  \qquad  ( 8 \emph{points} ) 

\medskip
 
Le 1\up{er} janvier 2014, la médiathèque d'une commune disposait d'un stock de  \np{40000} ouvrages. 

Chaque année, le gestionnaire supprime 8\,\% des ouvrages, trop usagés ou abîmés, et achète  \np{6000} ouvrages neufs. 
 
On s'intéresse à l'évolution du nombre de milliers d'ouvrages disponibles au 1\up{er} janvier de chaque année.

La situation est modélisée par une suite $\left(u_{n}\right)$ où le terme $u_{n}$ est le nombre, \textbf{en milliers}, d'ouvrages disponibles le 1\up{er}  janvier de l'année $(2014 + n)$.

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre d'ouvrages disponibles au 1\up{er} janvier 2015 et au 1\up{er} janvier 2016.
\item Donner une expression de $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.

\item Des travaux de réaménagement des locaux  seront nécessaires dès que le stock dépassera \np{50000} ouvrages. 

On considère l'algorithme suivant : 		
		
\begin{center}
\textsf{\begin{tabular}{|l l|}\hline 
Variables :& $N$ un nombre entier naturel \\
&$U$ un nombre réel \\
Initialisation :& Affecter à $N$ la valeur 0\\
& Affecter à $U$ la valeur $40$\\
Traitement :& Tant{\_}que $U \leqslant 50$ :\\
&\begin{tabular}{l|l}
~~& Affecter à $N$ la valeur $N + 1$\\
~~& Affecter à $U$ la valeur $0,92 \times U +6$\\
\end{tabular}\\
& Fin Tant{\_}que\\ 
Sortie :& Afficher $2014+N$\\ \hline
\end{tabular}}
\end{center} 

Recopier et compléter le tableau suivant autant que nécessaire en arrondissant les résultats au millième près. 

Quel nombre obtient-on en sortie de l'algorithme ? Interpréter ce résultat.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$N$				&0	& 1	& \ldots & \\ \cline{1-3}\cline{5-5}
$U$				& 40  & & \ldots & \\ \cline{1-3}\cline{5-5}
Condition $U \leqslant 50$	& Vraie & & \ldots & \\ \hline
\end{tabularx}

\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = u_{n} - 75$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_{n} = 75 - 35 \times  0,92^n$.		
	\end{enumerate} 
	\item \'Etudier la monotonie de la suite  $\left(u_{n}\right)$.
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. Interpréter ce résultat.

 	\end{enumerate} 
 	
\pagebreak

\exo  \qquad ( 4 \emph{points} ) 

\medskip
 
On considère une fonction $f$ définie sur $\R$ et deux fois dérivable. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction $f''$, dérivée seconde de la fonction $f$, dans un repère orthonormé. 

Les points $A(-2;0)$ et $B(3;0)$ appartiennent à la courbe. 

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-11,-6)(12,8)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{(x+2)^2*(x-3)/24}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-11,-6)(12,8)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5.5,-3)(6,4)
\uput[dl](6,0){$x$} \uput[dl](0,4){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\uput[u](-2,0){\bleu{\footnotesize{$A$}}}\uput[ul](3,0){\bleu{\footnotesize{$B$}}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-5}{4.973}{\f}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\emph{Chaque réponse sera justifiée.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La courbe représentative de la fonction $f$ admet-elle des points d'inflexion ? 
\item Sur quels intervalles, la fonction est-elle convexe ? Est-elle concave ? 
\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$. Donner le tableau de variation de la fonction $f'$.
\item Une des deux courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f$ et l'autre celle de $f'$.

Déterminer la courbe qui représente la fonction $f$ et celle qui représente la dérivée $f'$.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-7,-4)(8,12)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\rput(0.5,11){Courbe 1}
\def\f{(x+2)^3*(3*x-14)/288}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-7,-4)(8,10)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-7,-4)(8,10)
\uput[dl](8,0){$x$} \uput[dl](0,10){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-6.423}{6.328}{\f}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-7,-10)(8,6)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\rput(0.5,5){Courbe 2}
\def\f{(x+2)^4*(3*x-19)/1440}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-7,-10)(8,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-7,-10)(8,4)
\uput[dl](8,0){$x$} \uput[dl](0,4){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-6.405}{6.672}{\f}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\pagebreak
 
\exo \qquad ( 8 \emph{points} ) 

\medskip

\textsf{\textsc{\textbf{partie a}}}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=-x^3+16,5x^2-30x+110$. 

On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$ et $f''$ la dérivée seconde.

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer $f'(x)$.
\item \'Etudier les variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer $f''(x)$.
\item \'Etudier la convexité de la fonction $f$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textsc{\textbf{partie b}}}

\medskip

La fonction $f$, définie dans la partie A, modélise sur l'intervalle $[0;12]$, le cours d'une action sur une année. 

$x$ est le temps écoulé exprimé en mois et $f(x)$ est le cours de l'action en euros.
\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(26,10)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{.01*(-x^3+16.5*x^2-30*x+110)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-1)(26,10)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,ylabelFactor=00]{->}(0,0)(-.99,-.49)(13,5)
\uput[dl](13,0){$x$} \uput[dl](0,5){$y$}
\uput[dl](0,0){\footnotesize 0}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0}{12}{\f}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Sur un an, quel a été le cours le plus bas de cette action ? le cours le plus haut ?
\item À quel moment la croissance du cours de cette action s'est-elle ralentie ?
\end{enumerate}


\end{document}

