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\DecimalMathComma

\newcounter{nexo}    % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 15 décembre 2014}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{contrôle \no 4}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES 2\\Durée 3 heures}}}%droit
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\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

\begin{document}

\exo   \qquad  ( 4 \emph{points} ) 

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.}

\emph{Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\emph{Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.}

\emph{Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.}

\medskip

 La courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$.

La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ d'abscisse $-1$ a pour équation $y=5$.

La droite $D$ est tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point $B$ d'abscisse 2, seul point en lequel la courbe traverse la tangente.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-8,-5)(18,12)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{((x^3+6*x^2+15*x+16)*EXP(2-x)+9*EXP(3)-195)/(3*EXP(3)-39)}
\def\g{(3*EXP(3)-21-9*x)/(EXP(3)-13)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-8,-5)(18,12)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=0,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4,-2.5)(9,6)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](9,0){$x$}\uput[dl](0,6){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-2.681}{9}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt,linecolor=prune]{0.5}{3.8}{\g}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](-2,5)(0,5)
\psdots[linewidth=1pt,linecolor=prune,dotscale=.8](-1,5)(2,3)
\uput[u](-1,5){\bleu $A$}\uput[ur](2,3){\bleu $B$}\uput[dl](9,-.8){\bleu $\mathcal{C}_f$}
\uput[dl](3.5,1){\prune $D$}

\end{pspicture} 
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item On note $f''$ la dérivée seconde de la fonction $f$ :
 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}}
a)\; $f''(2)<0$ & b)\; $f''(2)=0$ &  c)\; $f''(2)>0$ & d)\; $f''(2)> f''(3)$
 \end{tabularx}

\medskip

\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$ :
 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}}
a)\; $f'(-1)=5$ & b)\; $f'(-1)=0$ &  c)\; $f'(2)=3$ & d)\; $f'(2)=-1$
 \end{tabularx}

\medskip

\item On peut affirmer que :

 \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}}
a)\;  $f'(-3) \times f'(-2) \leqslant 0$ & b)\; $f'(5) \times f'(6) \leqslant 0$ & c)\;  $f'(-2) \times f'(3) \geqslant 0$ & d)\; $f'(-2) \times f'(1) \leqslant 0$\\
\end{tabularx}
	
\medskip
 
\item Le tableau de variation de la fonction dérivée $f'$ est :
 
\medskip

a)\; \psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(7.2,2.4)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(7.2,2.4) \psline(1,0)(1,2.4) \psline(0,1.6)(7.2,1.6)
\rput(.5,2){$x$}\rput(1.4,2){$- \infty$} \rput(3.2,2){$-1$} \rput(5,2){$2$}\rput(6.8,2){$+ \infty$}
\rput(.5,.8){$f'(x)$} \rput(1.4,1.3){\rnode{A}{}} \rput(3.2,.3){\rnode{B}{}} \rput(5,1.3){\rnode{C}{}} \rput(6.8,.3){\rnode{D}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C}\ncline{C}{D}
\end{pspicture}\hfill b)\; \psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(7.2,2.4)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(7.2,2.4) \psline(1,0)(1,2.4) \psline(0,1.6)(7.2,1.6)
\rput(.5,2){$x$}\rput(1.4,2){$- \infty$}\rput(4.1,2){$-1$}\rput(6.8,2){$+ \infty$}
\rput(.5,.8){$f'(x)$} \rput(1.4,.3){\rnode{A}{}} \rput(4.1,1.3){\rnode{B}{}} \rput(6.8,.3){\rnode{C}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C}
\end{pspicture}

\medskip

c)\; \psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(7.2,2.4)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(7.2,2.4) \psline(1,0)(1,2.4) \psline(0,1.6)(7.2,1.6)
\rput(.5,2){$x$}\rput(1.4,2){$- \infty$}\rput(4.1,2){$2$}\rput(6.8,2){$+ \infty$}
\rput(.5,.8){$f'(x)$} \rput(1.4,1.3){\rnode{A}{}} \rput(4.1,.3){\rnode{B}{}} \rput(6.8,1.3){\rnode{C}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C}
\end{pspicture}\hfill d)\; \psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(7.2,2.4)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(7.2,2.4) \psline(1,0)(1,2.4) \psline(0,1.6)(7.2,1.6)
\rput(.5,2){$x$}\rput(1.4,2){$- \infty$} \rput(3.2,2){$-1$} \rput(5,2){$2$}\rput(6.8,2){$+ \infty$}
\rput(.5,.8){$f'(x)$} \rput(1.4,.3){\rnode{A}{}} \rput(3.2,1.3){\rnode{B}{}} \rput(5,.3){\rnode{C}{}} \rput(6.8,1.3){\rnode{D}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C}\ncline{C}{D}
\end{pspicture}

\end{enumerate}

\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \emph{points} ) 

\medskip

On considère le graphe $\Gamma$ ci-dessous. 

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=1.2cm}
\begin{pspicture}(0,-.2)(5,5.2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{linewidth=1pt,linecolor=bleu}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\cnodeput(1,4){A} {\small{\bleu\sf{A}}}\cnodeput(0,0){B}{\small{\bleu\sf{B}}} 
\cnodeput(1.8,1){C}{\small{\bleu\sf{C}}} \cnodeput(3.2,1){D}{\small{\bleu\sf{D}}}\cnodeput(5,0){E}{\small{\bleu\sf{E}}} \cnodeput(2.5,3){F}{\small{\bleu\sf{F}}} \cnodeput(2.5,5){G}{\small{\bleu\sf{G}}} \cnodeput(4,4){H}{\small{\bleu\sf{H}}} 
\ncline{A}{B} \ncline{B}{E}\ncline{E}{D}\ncline{D}{C}\ncline{C}{B} \ncline{B}{F}\ncline{F}{E}\ncline{E}{H}\ncline{H}{F}
\ncline{F}{A}\ncline{A}{G}\ncline{G}{H}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}

	\item Donner la matrice $M$ associée au graphe $\Gamma$ (les sommets seront rangés dans l'ordre alphabétique).
	\item On donne : $M^2 = \begin{pmatrix}  
3 & 1 & 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 2\\
1 & 4 & 0 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2\\
1 & 0 & 2 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 1\\
2 & 1 & 2 & 0 & 4 & 2 & 1 & 1\\
1 & 2 & 1 & 1 & 2 & 4 & 2 & 1\\
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 2 & 2 & 0\\
2 & 2 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 3\\
\end{pmatrix}$  et  $M^3 = \begin{pmatrix*}[r]  
2 & 7 & 1 & 3 & 4 & 8 & 5 & 3\\
7 & 4 & 6 & 1 & 10 & 8 & 3 & 4\\
1 & 6 & 0 & 4 & 1 & 3 & 1 & 3\\
3 & 1 & 4 & 0 & 6 & 3 & 1 & 1\\
4 & 10 & 1 & 6 & 4 & 8 & 3 & 7\\
8 & 8 & 3 & 3 & 8 & 6 & 2 & 8\\
5 & 3 & 1 & 1 & 3 & 2 & 0 & 5\\
3 & 4 & 3 & 1 & 7 & 8 & 5 & 2\\
\end{pmatrix*}$.
 
	\begin{enumerate}		
		\item Déterminer, en justifiant, le nombre de chaînes de longueur 3 reliant B à H. Les citer toutes. 
\item Quelle est la distance entre les sommets B et G ?
\item Quel est le diamètre du graphe ?
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer en justifiant si le graphe $\Gamma$ est complet.		
		\item Déterminer en justifiant si le graphe $\Gamma$ est connexe.
	\end{enumerate}
\item Le graphe $\Gamma$ modélise le plan d'un parc. Les arêtes du graphe représentent les allées du parc et les sommets du graphe sont les intersections. 

En fin de journée, un agent du service d'entretien fait le tour du parc pour nettoyer les allées.
\begin{enumerate}
\item Est-il possible de planifier un parcours pour que cet agent passe par toutes les allées sans emprunter plusieurs fois la même allée ? Justifier la réponse. Si oui proposer un  parcours.
\item Pour rationaliser le nettoyage des allées, on souhaite établir un circuit commençant et finissant par l'entrée du parc G et qui passe par toutes les allées une et une seule fois.

Quel est le nombre minimal d'allées qu'il faudrait tracer pour obtenir un tel circuit. 
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \emph{points} ) 

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip
 
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 15$ et pour tout entier naturel $n$, $ u_{n+1} = 1,04u_{n} -0,5$.
 
\begin{enumerate}
\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = u_{n} - 12,5$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
		
		En déduire que, pour tout nombre entier naturel $n$, $u_{n} = 2,5 \times  1,04^n +12,5$.
	\end{enumerate} 
\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante.
\item Déterminer la limite de la suite  $\left(u_{n}\right)$.
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip
 
Le 1\up{er} janvier 2014, la population d'une ville comptait 15 milliers d'habitants. 

Les études démographiques sur les dernières années ont permis d'établir que  la population de cette ville à partir du 1\up{er} janvier 2014  peut être modélisée par la suite $\left(u_{n}\right)$ où $u_{n}$ désigne le nombre de milliers d'habitants de la ville le 1\up{er} de l'année $2014 + n$. 

Une réorganisation des transports en commun sera nécessaire dès que la population dépassera \np{16000} habitants. 

On considère l'algorithme suivant :
	\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
\textsc{\textsf{variables :}} & $U$ est un réel\\
				&$N$ est un entier naturel\\ 
\textsc{\textsf{initialisation :}}& $U$ prend la valeur 15\\
				&$N$ prend la valeur $0$\\ 
\textsc{\textsf{traitement :}}	&Tant que $U < 16$\\
				&\hspace{.5cm}$N$ prend la valeur $N + 1$\\ 
				&\hspace{.5cm}$U$ prend la valeur $1,04 \times U -0,5$\\
				&Fin du Tant que \\
\textsc{\textsf{sortie :}}		&Afficher $N$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur de $N$ affichée par cet algorithme. 
		\item Interpréter le résultat précédent. 
	\end{enumerate}

\pagebreak

\exo \qquad ( 6 \emph{points} ) 

\medskip
 
\textsf {\textsc{\textbf{partie a}}}

\medskip

 Soit $u$ la fonction polynôme du second degré définie sur $\R$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}_u$ est donnée en annexe ci-dessous.

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\e^{u(x)}$. On note $f'$ sa fonction dérivée.
 
 À l'aide du graphique, répondre aux questions suivantes.
\begin{enumerate}
\item La proposition \og L'équation $f(x)=0$ admet deux solutions.\fg{} est-elle vraie ou fausse ?
	\item Déterminer $f(0)$ et $f'(0)$.
	\item Donner le tableau de variation de la fonction $f$.
\end{enumerate}

 
 \begin{center}
 \textsf {\textsc{\textbf{annexe}}}

\medskip
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-10,-6)(16,8)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{EXP(-.5*x^2+x)}
\def\g{x-.5*x^2}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-10,-6)(16,8)
\psset{xunit=2cm,yunit=2cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-2.5,-1.5)(4,2)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,2){\footnotesize{$y$}}
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2.5}{4}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-1,-1)(.75,.75)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](1.25,.75)(3,-1)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-1}{3}{\g}
%\psdots[linewidth=1pt, linecolor=prune,dotscale=.8](-2.5,1.80587)(0,2)
\uput[ur](3,-1.5){\footnotesize{\bleu{$\mathcal{C}_u$}}}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\medskip
 
\textsf {\textsc{\textbf{partie b}}}

\medskip

On considère dans cette partie, que la fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\e^{x-0,5x^2}$.

On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.

 

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$, l'équation $f(x)=1$.
 \item Un logiciel de calcul formel donne le résultat suivant :
 
\begin{center}
\begin{tabularx}{.6\linewidth}{|lXr|}\hline 
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} {\ttfamily{dériver}} &$\mathrm{exp}\left(x-\dfrac{x^2}{2}\right)$ &\\ 
 &&$(1-x)\mathrm{exp}\left( x-\dfrac{x^2}{2}\right)$\\  \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\begin{enumerate}
 \item Déterminer une équation de la tangente $T_{A}$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ d'abscisse 0.
 \item Déterminer une équation de la tangente $T_{B}$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $B$ d'abscisse 2.
 \end{enumerate}

	\item On note $f''$ la fonction dérivée seconde de la fonction $f$.
	\begin{enumerate}
	\item Calculer $f''(x)$.
	\item \'Etudier la convexité de la fonction $f$.
	\item La courbe $\mathcal{C}_f$ admet-elle des points d'inflexion ?
\end{enumerate}

\item Tracer dans le repère fourni en annexe la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$.
		 
On placera les points d'abscisses 0, 1, 2 et on tracera les tangentes à la courbe en ces points.
\end{enumerate}


\end{document}

