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\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 28 mars 2015}}} %gauche
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\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES 2\\Durée 1 heure}}}%droit
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

\begin{document}


\exo \qquad  ( 4 \emph{points} ) 

\medskip

Dans chacun des cas suivants, calculer la primitive $F$ de la fonction $f$ qui vérifie la condition donnée.

	\begin{enumerate}
	\item $f$  est définie sur $\R$   par $f(x)=4x^2-3x+1$   et  $F\left(-1\right)=-4$.	
	\item $f$  est définie sur $]0;+\infty[$   par $f(x)=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}$   et  $F(1)=0$.
\end{enumerate}
 	
\bigskip

\exo \qquad  ( 7 \emph{points} ) 

\medskip

Calculer la valeur exacte de chacune des intégrales suivantes :

\medskip

\begin{enumerate}[$A =$]
\item $\displaystyle \int_{-2}^{3} \left( -3x^2+6x+4 \right) \:\dd x$
\item $\displaystyle \int_{-2}^{0} \left( \e^{x}+\e^{-x} \right) \:\dd x$
\item $\displaystyle\int_{1}^{\e} \left( 1+ \dfrac{1}{t} \right) \:\dd t$
\end{enumerate}

\bigskip


\exo \qquad  ( 9 \emph{points} ) 

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ strictement positif par $f(x) = \dfrac{1-\ln(x)}{x}$ et on note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(8,6)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\def\f{(1-ln(x))/x}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{.367879}{2.71828}{\f} \gsave
\psline(2.718,0)(.367879,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb,,addfillstyle=vlines,hatchcolor=prune,hatchwidth=0.5pt] \grestore }
\psset{unit=.5cm}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-1,-1)(16,12)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-.5)(8,6)
\uput[dl](8,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,6){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0.34435}{8}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](.367879,0)(.367879,5.436)
\uput[dl](1,6){\bleu{\footnotesize $\mathcal{C}_f$}}
\psdot[linecolor=prune](2.71828,0)
\uput[d](.4,0){\prune{\footnotesize $\e^{-1}$}}
\uput[u](2.7,0){\bleu{\footnotesize $A$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item Déterminer l'abscisse du point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_f$ avec l'axe des abscisses.
\item 
\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$, on note $f'$ sa fonction dérivée. Calculer $f'(x)$.
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$.
\end{enumerate}
\item Le point $B(0 ; 3)$ appartient-il à la droite $T$ tangente à la courbe  $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 1. 
\item On admet que la fonction $G$ définie pour tout réel $x$ strictement positif par $G(x)=\dfrac{\left(\ln x \right)^2}{2}$ est une primitive sur l'intervalle  $]0 ; + \infty[$ de la fonction $g$ définie par $g(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}$.


En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle  $]0 ; + \infty[$. 		
	\item Calculer l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=\e^{-1}$ et $x=\e$.
\end{enumerate}


\end{document}

