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\newcounter{nexo}    % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
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  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\17 Avril 2015}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{entraînement au baccalauréat}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES spécialité}}}%droit
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

\begin{document}


\exo \qquad ( 5 \emph{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les élèves}

\medskip

Au 1\up{er} janvier 2014, une ville avait une population de \np{50000} habitants. On  considère qu'à partir du 1\up{er} janvier 2014 :

\begin{itemize}
	\item le nombre d'habitants de la ville augmente chaque année de 2\,\% du fait des naissances et des décès ;
	\item du fait des mouvements migratoires, \np{400} personnes supplémentaires  s'installent chaque année dans cette ville.
\end{itemize}

\medskip


\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre d'habitants dans cette ville en 2015 et 2016. 
\item On modélise l'évolution de la population de cette ville par une suite numérique $\left(u_{n}\right)$ où $u_{n}$ représente le nombre de milliers d'habitants de cette ville au 1\up{er} janvier de l'année $2014 + n$. 
\begin{enumerate}
\item Justifier que la suite $\left(u_{n}\right)$ est définie par $u_0=50$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} =1,02 u_{n} +  0,4$.

\item  On considère l'algorithme suivant :

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
\textsc{\textsf{variables :}} & $U$ est un réel\\
				&$N$ est un entier naturel\\ 
\textsc{\textsf{initialisation :}}& $U$ prend la valeur 50\\
				&$N$ prend la valeur $0$\\ 
\textsc{\textsf{traitement :}}	&Tant que $U < 75$\\
				&\hspace{.5cm}$N$ prend la valeur $N + 1$\\ 
				&\hspace{.5cm}$U$ prend la valeur $1,02 \times U + 0,4$\\
				&Fin du Tant que \\
\textsc{\textsf{sortie :}}		&Afficher $N$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

Si l'on fait fonctionner cet algorithme, alors le résultat affiché en sortie est 16. 

Interpréter ce résultat dans le contexte de ce problème. 
\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_{n} = u_{n} +20$.

Montrer que $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.		

	\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_{n} = 70 \times (1,02)^n  - 20$.
	\item Calculer le pourcentage d'augmentation de la population entre le 1\up{er} janvier 2014 et le 1\up{er} janvier 2020. Le résultat sera arrondi à 0,1\,\% près.
	\item Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $u_{n} \geqslant 75$.  Interpréter le résultat. 
\end{enumerate}

\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \emph{points} ) \hfill \emph{Élèves ayant suivi l'enseignement de spécialité ES}

\medskip

On considère le graphe $\Gamma$ ci-dessous. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(12,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linecolor=bleu,linewidth=1pt}
\cnodeput(6,1.5){1}{\bleu{\footnotesize{\textsf{A}}}}
\cnodeput(6,3.5){2}{\bleu{\footnotesize{\textsf{B}}}}
\cnodeput(2,5){3}{\bleu{\footnotesize{\textsf{C}}}}
\cnodeput(0,2){4}{\bleu{\footnotesize{\textsf{D}}}}
\cnodeput(3,0){5}{\bleu{\footnotesize{\textsf{E}}}}
\cnodeput(9,0){6}{\bleu{\footnotesize{\textsf{F}}}}
\cnodeput(10,5){7}{\bleu{\footnotesize{\textsf{G}}}}
\cnodeput(12,2){8}{\bleu{\footnotesize{\textsf{H}}}}
\ncline{-}{1}{2} \ncline{-}{2}{3} \ncline{-}{3}{4} \ncline{-}{4}{5} \ncline{-}{5}{3} \ncline{-}{3}{7} \ncline{-}{7}{8} \ncline{-}{8}{6} \ncline{-}{6}{5}  \ncline{-}{5}{1} \ncline{-}{1}{6} \ncline{-}{6}{7} \ncline{-}{7}{2}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Donner la matrice $M$ associée au graphe $\Gamma$ (les sommets étant rangés dans l'ordre alphabétique).
\item On donne : $M^2= \begin{pmatrix}
3 & 0 & 2 & 1 & 1 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 3 & 1 & 1 & 2 & 2 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 4 & 1 & 1 & 2 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 2 & 1 & 1 & 4 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 2 & 1 & 1 & 4 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 1 & 1 & 2 & 1 & 4 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 2 \\
\end{pmatrix}$ \hspace{2em} $M^3= \begin{pmatrix}
2 & 7 & 4 & 3 & 7 & 7 & 4 & 3 \\
7 & 2 & 7 & 3 & 4 & 4 & 7 & 3 \\
4 & 7 & 4 & 5 & 9 & 5 & 8 & 3 \\
3 & 3 & 5 & 2 & 5 & 3 & 3 & 2 \\
7 & 4 & 9 & 5 & 4 & 8 & 5 & 3 \\
7 & 4 & 5 & 3 & 8 & 4 & 9 & 5 \\
4 & 7 & 8 & 3 & 5 & 9 & 4 & 5 \\
3 & 3 & 3 & 2 & 3 & 5 & 5 & 2 \\
\end{pmatrix}$
 
	\begin{enumerate}
	\item Montrer, par le calcul, que le coefficient de la quatrième ligne et huitième colonne de la matrice $M^3$ est égal à $2$. 		
		\item Déterminer, en justifiant, le nombre de chaînes de longueur 3 reliant D à H. Les citer toutes. 
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer en justifiant si le graphe $\Gamma$ est complet.		
		\item Déterminer en justifiant si le graphe $\Gamma$ est connexe.
	\end{enumerate}
\item Le graphe $\Gamma$ modélise le plan d'un parc. Les arêtes du graphe représentent les allées du parc et les sommets du graphe des plantations d'essences exotiques. 

Est-il possible de visiter ce parc  en empruntant une seule fois chaque allée ? Justifier la réponse. Si oui proposer un tel parcours.

\item Sur les arêtes du graphe $\Gamma$ sont indiqués les temps moyens de parcours pour un promeneur exprimés en minutes.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(12,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linecolor=bleu,linewidth=1pt}
\cnodeput(6,1.5){1}{\bleu{\footnotesize{\textsf{A}}}}
\cnodeput(6,3.5){2}{\bleu{\footnotesize{\textsf{B}}}}
\cnodeput(2,5){3}{\bleu{\footnotesize{\textsf{C}}}}
\cnodeput(0,2){4}{\bleu{\footnotesize{\textsf{D}}}}
\cnodeput(3,0){5}{\bleu{\footnotesize{\textsf{E}}}}
\cnodeput(9,0){6}{\bleu{\footnotesize{\textsf{F}}}}
\cnodeput(10,5){7}{\bleu{\footnotesize{\textsf{G}}}}
\cnodeput(12,2){8}{\bleu{\footnotesize{\textsf{H}}}}
\ncline{-}{1}{2}\mput*{\prune{\textsf{8}}} \ncline{-}{2}{3}\mput*{\prune{\textsf{6}}} \ncline{-}{3}{4}\mput*{\prune{\textsf{14}}} \ncline{-}{4}{5}\mput*{\prune{\textsf{5}}} \ncline{-}{5}{3} \mput*{\prune{\textsf{8}}}\ncline{-}{3}{7}\mput*{\prune{\textsf{22}}} \ncline{-}{7}{8}\mput*{\prune{\textsf{9}}} \ncline{-}{8}{6}\mput*{\prune{\textsf{18}}} \ncline{-}{6}{5} \mput*{\prune{\textsf{19}}} \ncline{-}{5}{1} \mput*{\prune{\textsf{11}}}\ncline{-}{1}{6} \mput*{\prune{\textsf{7}}}\ncline{-}{6}{7}\mput*{\prune{\textsf{9}}} \ncline{-}{7}{2}\mput*{\prune{\textsf{12}}}
\end{pspicture}
\end{center}

En précisant la méthode utilisée, déterminer le trajet le plus court (en minutes) pour aller de D à H. Préciser la durée totale de ce trajet.
\end{enumerate}

\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \emph{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les élèves}

\medskip

 Une usine fabrique, en grande quantité, un certain type de pièces métalliques pour l'industrie.

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Les pièces sont fabriquées par deux machines $a$ et $b$. 

On considère que 2 \% des pièces produites par la machine $a$ sont défectueuses et que 7 \%  des pièces produites la machine $b$ sont défectueuses.

La machine $a$ plus récente assure 80 \% de la production quotidienne.

On prélève une pièce au hasard dans l'ensemble des  pièces produites par les deux machines pendant une journée. Toutes les pièces ont la même probabilité d'être prélevées.

   On considère les évènements suivants :
    \begin{itemize}
\item $A$ : \og la pièce prélevée a été fabriquée par la machine $a$ \fg{} ; 
\item $D$ : \og la pièce prélevée est défectueuse \fg{}. 
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre probabiliste modélisant la situation :

\begin{center}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{arrows=-,treesep=.75cm,levelsep=3cm,linewidth=1pt,labelsep=4pt,linecolor=bleu}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{~\bleu{$A$}~}\naput{\bleu{$0,8$}}}
		{
\TR{\bleu{$D$}}\naput{\prune \ldots}
\TR{\bleu{$\overline{D}$}}\nbput{\prune\ldots}
 		}
	\pstree{\TR{~\bleu{$\overline{A}$}~}\nbput{\prune\ldots}}
		{
\TR{~\bleu{$D$}}\naput{\bleu{$0,07$}}
\TR{~\bleu{$\overline{D}$}}\nbput{\prune \ldots}
 		}
}
\end{center}

\item  Calculer la probabilité que la pièce prélevée au hasard dans la production de la journée soit défectueuse et qu'elle ait été fabriquée par la machine $a$.
\item  En déduire la probabilité que la pièce prélevée au hasard dans la production de la journée soit défectueuse.
\item La pièce prélevée au hasard dans la production de la journée est défectueuse, quelle est la probabilité qu'elle ait été fabriquée par la machine $a$ ? 
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\begin{center}
\emph{Dans cette partie, les résultats seront si nécessaire, arrondis au millième près.}
\end{center}

On considère un stock important de pièces métalliques. On admet que 3\,\% des pièces de ce stock sont défectueuses. 

On prélève au hasard 150 pièces dans le stock pour vérification. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 150 pièces. 

On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 150 pièces, associe le nombre de pièces de ce prélèvement qui sont défectueuses.

\begin{enumerate}
\item La variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser les paramètres de cette loi.
\item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, une pièce au moins soit défectueuse.  
\item Ci-dessous est donné un extrait du tableau donnant les valeurs des probabilités $P\left(X \leqslant  k\right)$, où $k$ désigne un nombre entier naturel appartenant à l'intervalle $[0 ; 150]$.

 \begin{center} 
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{*{3}{|c|>{\centering \arraybackslash}X|}} \hhline{-|-||-|-||-|-}
$k$&$P\left(X \leqslant  k\right)$&$k$&$P\left(X \leqslant  k\right)$&$k$&$P\left(X \leqslant  k\right)$\\ \hhline{-|-||-|-||-|-}	
0 & \np{0,0104} & 5 & \np{0,7043} & 10 & \np{0,9942}\\  \hhline{-|-||-|-||-|-}
1 & \np{0,0585} & 6 & \np{0,8340} & 11 & \np{0,9980}\\  \hhline{-|-||-|-||-|-}
2 & \np{0,1693} & 7 & \np{0,9166} & 12 & \np{0,9994}\\  \hhline{-|-||-|-||-|-}
3 & \np{0,3384} & 8 & \np{0,9622} & 13 & \np{0,9998}\\  \hhline{-|-||-|-||-|-}
4 & \np{0,5307} & 9 & \np{0,9845} & 14 & \np{0,9999}\\  \hhline{-|-||-|-||-|-}
\end{tabularx}
\end{center}

À l'aide de ce tableau ou de la calculatrice, déterminer $P\left(2 \leqslant X \leqslant  8 \right)$, la probabilité  que le nombre de pièces défectueuses dans un lot de 150 soit compris entre 2 et 8. 
\end{enumerate}
 

\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \emph{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les élèves}

\medskip
 
La courbe $\mathcal{C}_f$, tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal, est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $\R$. 

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-2)(18,14)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{(1-x)*EXP(-x)}
\psgrid[gridwidth=0.2pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-6,-2)(18,14)
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1.5,-.99)(4.5,7)
\uput[dl](4.5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,7){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-1.17}{4.5}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-1}{1}{-2*x+1}
\uput[dr](-1.5,7){\bleu{\footnotesize $\mathcal{C}_f$}}
\psdot[linecolor=prune](0,1)
\uput[ur](0,1){\bleu{\footnotesize $A$}}
\uput[ul](-1,3){\prune{\footnotesize $T$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item La droite $T$ est tangente à la  courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A\left( 0 ;1 \right) $. Par lecture graphique, déterminer $f'(0)$.
\item La fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ par $f(x) = (1-x)\e^{-x}$
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$, $f'(x)=(x-2)\e^{-x}$.
\item Étudier les variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}
\item On admet que la dérivée seconde de la fonction $f$ est la fonction $f''$ définie tout réel $x$ par \mbox{$f''(x) = (3-x)\e^{-x}$}. 

Montrer que  la courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet un unique point d'inflexion dont on précisera l'abscisse.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la fonction $F$ définie pour tout réel $x$ par $F(x) = x\e^{-x}$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
		\item  Calculer l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine plan limité par la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x = -1$ et $x = 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}

