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% en-tête
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\begin{document}


\exo \qquad ( 8 \emph{points} ) 

\medskip
 
Usines, bureaux, commerces, hôtels, etc. : les établissements constituent le tissu productif d'un territoire. 

En France, entre les 1\up{er} janvier 2008 et 2013, le nombre d'établissements est passé de 3,5 millions à 4,2 millions dans les activités marchandes hors agriculture. 

Cette croissance s'accompagne d'un important renouvellement des établissements sous forme d'entrées et de sorties du tissu productif.

\medskip 

\textsf{\textsc{\textbf{modélisation}}}

\medskip 

On estime que chaque année, sur la période entre les 1\up{er} janvier 2008 et 2013 :
\begin{itemize}
 \item le taux de sortie annuel moyen des établissements par le biais de cessations d'activités et transferts géographiques (déménagements)  est de 17,5 \% ;
 \item le nombre d'entrées annuel par le biais de créations d'entreprises, de reprises ou de transferts (emménagements) est de \np{812000} établissements. 
 \end{itemize}  

L'évolution nombre d'établissements est modélisée par la suite $\left(u_{n}\right)$ où le terme $u_{n}$ est le nombre, \textbf{en millions}, d'établissements le 1\up{er}  janvier de l'année $(2008 + n)$. Ainsi, $u_0 = 3,5$.

\begin{enumerate}
\item  Justifier que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,825 \times u_n + 0,812$.
\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = u_{n} - 4,64$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_{n} = 4,64 - 1,14 \times  0,825^n$.
		
	\end{enumerate}
\item Ce modèle permet-il d'obtenir une estimation fiable (approchée à moins de 0,01 million près) du nombre d'établissements en France, au 1\up{er} janvier 2013 ?
\item En admettant que ce modèle reste valable pour les années suivantes :\begin{enumerate}
\item Est-il possible d'envisager qu'en France, le nombre d'établissements atteigne 5 millions ?
\item On souhaite écrire un algorithme qui permette d'afficher l'année à partir de laquelle le nombre d'établissements sera supérieur à 4,5 millions.
	
Parmi les trois algorithmes suivants, déterminer celui qui convient pour répondre au problème posé et expliquer pourquoi les deux autres ne conviennent pas.
	
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|c|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}
\multicolumn{1}{|c|}{\textsf{Algorithme 1}}&&\multicolumn{1}{c|}{\textsf{Algorithme 2}}\\[.5em]
Affecter à $n$ la valeur 0&&Affecter à $n$ la valeur 0\\
Affecter à $U$ la valeur 3,5&&Affecter à $U$ la valeur 3,5\\
Tant que $U \leqslant  4,5$
\begin{itemize}
\item[] Affecter à $U$ la valeur $4,64 - 1,14 \times  0,825^n$
\item[] Affecter à $n$ la valeur $n + 1$
\end{itemize}
Fin Tant que &&Tant que $U \leqslant  4,5$
\begin{itemize}
\item [] Affecter à $U$ la valeur $0,825 \times U + 0,812$
\item[] Affecter à $n$ la valeur $n + 1$
\end{itemize}Fin Tant que\\
Affecter à $n$ la valeur $n + \np{2008}$&&Affecter à $n$ la valeur $n + \np{2008}$\\
Afficher $n$&&Afficher $n$\\ \cline{1-1}\cline{3-3}
\end{tabularx}

\begin{center}
\begin{tabularx}{.5\linewidth}{|X|}\hline
\multicolumn{1}{|c|}{\textsf{Algorithme 3}}\\[.5em]
Affecter à $n$ la valeur 0\\
Affecter à $U$ la valeur 3,5\\
Tant que $U >  4,5$
\begin{itemize}
\item[] Affecter à $U$ la valeur $0,825 \times U + 0,812$
\item[] Affecter à $n$ la valeur $n +1$
\end{itemize}
Fin Tant que \\
Affecter à $n$ la valeur $n + \np{2008}$\\
Afficher $n$ \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}	

\end{enumerate}
 	
\pagebreak

\exo \qquad  ( 12 \emph{points} ) 

\medskip
 
 \textsf{\textsc{\textbf{partie a}}}

\medskip

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$.  On sait que  :
\begin{itemize}
	\item Les points $A\left(0 ; \dfrac{1}{2}\right)$ et $B\left( \dfrac{5}{2} ; \dfrac{27}{4}\right)$ appartiennent à la courbe $\mathcal{C}_f$.
	\item La tangente au point  $A$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ est parallèle à l'axe des abscisses.
	\item La tangente au point  $B$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ passe par le point de coordonnées $(3;8)$.
\end{itemize}


 

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-12,-4)(18,16)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
%\def\f{(4*x^3+5*x^2-8*x+4)/(5*x^2-8*x+4)}
\def\f{(x^3+x^2-4*x+5)/(2*x^2-8*x+10)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-12,-4)(18,16)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-6,-2)(9,8)
\uput[dl](9,0){$x$} \uput[dl](0,8){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\uput[ul](0,.5){\bleu{\footnotesize{$A$}}}\uput[l](2.5,6.75){\bleu{\footnotesize{$B$}}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-6}{9}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(2,5.5)(3,8)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(-1.5,.5)(1.5,.5)
\psdots[linewidth=1pt, linecolor=bleu,dotscale=.8](0,.5)(2.5,6.75)
\uput[dl](9,7.5){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip
 On note $f'$  la dérivée de la fonction $f$. À partir du graphique et des renseignements fournis :
\begin{enumerate}
\item Déterminer  $f'(0)$ et $f'\left( \dfrac{5}{2}\right)$. 
\item Pour chacune des affirmations ci-dessous, dire si elle est vraie ou si elle est fausse.
	\begin{enumerate}
	\item $f'(-5) \times f'(2) \leqslant 0$. 
	\item $f'(2) \times f'(4) \leqslant 0$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textsc{\textbf{partie b}}}

\medskip

La fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\dfrac{x^3+x^2-4x+5}{2x^2-8x+10}$. 

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$, $f'(x)=\dfrac{2x^2\times \left(x^2-8x+15\right)}{\left(2x^2-8x+10\right)^2}$.
\item \begin{enumerate}
\item \'Etudier le signe de $f'(x)$.
\item Donner le tableau de variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}
\item Montrer que l'équation $f(x)=0$  possède une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[ -5 ; 0]$. 

Déterminer la valeur arrondie à $10^{-2}$ près de $\alpha$.
\item Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 1.
\end{enumerate}

\end{document}

