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% en-tête
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\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

\begin{document}

\begin{center}
\emph{La calculatrice, n'est pas autorisée}
\end{center}
\exo 

 \medskip 

Pour la fabrication de deux articles $A$ et $B$, on distingue trois facteurs techniques de production : matières premières, travail et énergie. 

Le tableau suivant indique les quantités d'unités de ces facteurs nécessaires à la production d'un article $A$ et à celle d'un article $B$  ainsi que la valeur estimée du coût de revient d'une unité de chacun de ces trois facteurs de production (\textit{matières premières, travail et énergie}).

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|>{\centering}X|>{\centering}X|>{\centering\arraybackslash}m{4cm}|}\hline
Facteurs techniques & Article $A$ &	Article $B$	& Coût d'une unité du facteur (en euros)\\ \hline
Nombre d'unités de matières premières	&5&	6	&8\\ %\hline
Nombre d'unités de travail	&4&	3	&5\\ %\hline
Nombre d'unités d'énergie	&2&	3	&4\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

On note :
\begin{itemize}
\item  $F=\begin{pmatrix} 5 & 4 & 2  \\  6 & 3 & 3  \\ \end{pmatrix}$ la matrice dont les éléments sont les quantités de facteurs de production nécessaires à la fabrication des deux articles $A$ et $B$.
\item $C=\begin{pmatrix} 8 \\  5  \\ 4 \end{pmatrix}$ la matrice colonne des coûts unitaires, en euros, des trois facteurs de production (\textit{matières premières, travail et énergie}).
\end{itemize}


\begin{enumerate}
\item Calculer sous forme d'un produit de matrices, la matrice $P$ des  coûts de production de chaque article.
\item La marge bénéficiaire sur chaque article est un pourcentage du coût total de production. Elle est égale à 25~\% pour l'article $A$ et à 20~\%  pour l'article $B$.

Soit  $M=\begin{pmatrix} 1,25 & 0  \\  0 & 1,20  \\ \end{pmatrix}$ la matrice associée à la marge bénéficiaire.  

À l'aide d'un produit de matrices, déterminer la matrice $V$ des prix de vente de chaque article.
\item L'entreprise reçoit une commande de 10 articles $A$ et 15 articles $B$. 

Calculer à l'aide d'un produit de deux matrices, le montant total en euros de la commande.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

\medskip

 On considère les matrices suivantes : \[A=\begin{pmatrix*}[r]
 -9 & 6 & -1 \\
 -10&8&2\\13&-5&8 \end{pmatrix*}
 \textrm{ et }\ B=\begin{pmatrix*}[r] 2&-3&5\\3&-4&7\\-1&3&-3
\end{pmatrix*}.\]

 Calculer la matrice $P=AB$.
 
\bigskip

\exo 

\medskip
 
On considère les matrices $A = {\begin{pmatrix*}[r] 5 & -9  \\
1 & -2 \\ \end{pmatrix*} }$ et $I = {\begin{pmatrix*}[r] 1 & 0  \\
0 & 1 \\ \end{pmatrix*} }$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la matrice  $A^2$.
	\item \begin{enumerate}
	\item Vérifier que $A^2-3A=I$.
	\item En déduire la matrice $A^{-1}$, inverse de la matrice $A$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}

