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\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
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\DecimalMathComma

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\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 7 novembre 2015}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{contrôle \no 2}}}}} %centre
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%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

\begin{document}

\exo

\medskip

La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $[0 ; + \infty[$ est tracée ci-dessous.
 
\begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(-1,-3)(9,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{(x-8)*x^3/64+4}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-3)(9,7)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1,-3)(9,7)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}\uput[dl](9,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,3){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{8.33194}{\f}
\psline [linewidth=1pt, linecolor=prune]{->}(0,4)(1.5,4)
\psline [linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(5.2,-2.75)(6.8,-2.75)
\psdots[linewidth=1pt, linecolor=prune,dotscale=.8](0,4)(4,0)(6,-2.75)
\uput[dl](9,7){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}\uput[ur](0,4){\prune{$A$}}\uput[d](6,-2.75){\prune{$C$}}\uput[ur](4,0){\prune{$B$}}
\end{pspicture}
\end{center}
Les points $A(0;4)$, $B(4;0)$ et $C\left(6;-\dfrac{11}{4}\right)$ appartiennent à la courbe $\mathcal{C}_f$.

Le point $B$ est le seul point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$.
 	
On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$ et $f''$ la dérivée seconde. 

\begin{enumerate}
	\item Sur quel(s) intervalle(s) la fonction $f$ est-elle convexe ?
	\item  Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f'$ et l'autre celle de $f''$.

Déterminer la courbe qui représente la dérivée $f'$ et celle qui représente la dérivée seconde $f''$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering\arraybackslash}X}}
\psset{unit=.5cm} 
\begin{pspicture}(-.5,-3)(9,7)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{(x-6)*x^2/16}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(0,-3)(9,7)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-3)(9,7)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}\uput[dl](9,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,7){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=prune]{0}{7.82783}{\f}
\end{pspicture}
&\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-.5,-3)(9,7)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{x*(x-6)*(x-4)^2/16}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(0,-3)(9,7)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-3)(9,7)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}\uput[dl](9,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,7){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.5pt, linecolor=prune]{0}{7.35392}{\f}
\end{pspicture}
&\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-.5,-2)(9,8)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{(x-4)*x/6}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(0,-2)(9,8)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-2)(9,8)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}\uput[dl](9,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,8){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.5pt, linecolor=prune]{0}{9}{\f}
\end{pspicture}\\
Courbe $C_1$ & Courbe $C_2$ & Courbe $C_3$\\ 
\end{tabularx}

\medskip

\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe  $\mathcal{C}_f$ au point $B$.

\end{enumerate} 
	
\pagebreak
 
\exo

 \medskip

Simplifier les expressions suivantes :

 \medskip

$A(x)=\dfrac{\e^{2x-3}}{\e^{x-2}} \times \e^{1-2x}$; \hfill $B(x)=\dfrac{1}{\e^{x}}+\left(1+\e^{x}\right)\left(1-\e^{-x}\right)$ .  

 \bigskip

 \exo

 \medskip 

\begin{enumerate}
	\item Résoudre dans $\R$  les équations suivantes :
	
\begin{enumerate}
\item $\left(\e^{x}+1\right)\left(\e^{-x} -1\right)=0$
	\item $\e^{1-2x}=\dfrac{1}{\e}$.	
\end{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$  les inéquations suivantes :
\begin{enumerate}	
	\item $\e^{2x} \times \e^{x^2} \leqslant 1$
	\item $\dfrac{\e^{2x}+1}{1-\e^{2x}}\geqslant 0$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\bigskip

\exo 

 \medskip 
 
 Dans chacun des cas suivants, calculer la dérivée de la fonction $f$
 
 \begin{enumerate}
 \item $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{\e^{x^2}}{\e^{1-2x}}$
 \item $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)=\e^{x-1}\times \e^{x^2+x+1}$
 \end{enumerate}
 
\bigskip
 
\exo

 \medskip 

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$  par $f(x) =\dfrac{3-2x}{\e^{x}}$. 

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et $f''$ la dérivée seconde de la fonction $f$. 

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout nombre réel $x$,  on a : $f'(x) = (2x-5)\times\e^{-x}$.
	\item \'Etudier les variations de la fonction $f$.	
\end{enumerate}
\item Montrer que l'équation $f(x)=5$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[-1; 0]$. 

Donner la valeur arrondie à $10^{-2}$ près de $\alpha$.
\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d'abscisse 0.
\item \begin{enumerate}
 \item \'Etudier la convexité de la fonction $f$.
 \item La courbe représentative de la fonction $f$  a-t-elle un point d'inflexion ? Si oui, donner ses coordonnées.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}

