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\DecimalMathComma

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\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 30 novembre 2015}}} %gauche
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\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} ES 3\\Durée 45 minutes}}}%droit
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\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

\begin{document}

\exo 

  \medskip 

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ où $a$, $b$ et $c$ sont trois nombres réels.

La courbe $\mathcal{C}_f$, représentative de la fonction $f$ passe par les points $M(0;2)$, $N(-2;-1)$ et $P(4;5)$.

\begin{enumerate}
	\item On cherche à déterminer la valeur des c{\oe}fficients $a$, $b$ et $c$.
\begin{enumerate}
	\item \`A partir des données de l'énoncé, écrire un système d'équations traduisant cette situation.
	\item En déduire que le système précédent est équivalent à : $AX=B$ avec $A=\begin{pmatrix*}[r]
	0	&	0	&	1 \\
	4	&	-2	&	1	\\
	16	&	4	&	1	
\end{pmatrix*}$, $X=\begin{pmatrix}
	a \\b \\ c
\end{pmatrix}$ et $B$ une matrice colonne que l'on précisera.
\item Déterminer les valeurs des c{\oe}fficients $a$, $b$ et $c$.
\end{enumerate}
	\item En déduire l'expression de $f(x)$ en fonction de $x$.
\end{enumerate}


\bigskip

\exo 

\medskip

On considère le graphe $\mathcal{G}$ ci-dessous :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(13,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linewidth=1pt,linecolor=bleu}
\cnodeput(0,3){A}{\bleu{\footnotesize A}}
\cnodeput(2.5,6){B}{\bleu{\footnotesize  B}}
\cnodeput(6.5,6){C}{\bleu{\footnotesize C}}
\cnodeput(2,0){D}{\bleu{\footnotesize D}}
\cnodeput(3.6,3){E}{\bleu{\footnotesize E}}
\cnodeput(13,3){F}{\bleu{\footnotesize F}}
\cnodeput(10,3){G}{\bleu{\footnotesize G}}
\cnodeput(8,0){H}{\bleu{\footnotesize H}}
\ncline{D}{H}\ncline{H}{C}\ncline{C}{G}\ncline{G}{H}\ncline{H}{F}\ncline{F}{G}
\ncline{G}{E}\ncline{E}{D}\ncline{D}{A}\ncline{A}{B}\ncline{B}{C}\ncline{C}{E}\ncline{E}{B}
\end{pspicture}
\end{center}


\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner l'ordre du graphe puis le degré de chacun des sommets. 
\item Déterminer en justifiant si ce graphe est :
	\begin{enumerate}
		\item complet ; 
		\item connexe.
	\end{enumerate}
	\item Déterminer en justifiant si le graphe $\mathcal{G}$ admet un cycle eulérien ou une chaîne eulérienne. 
\item On range les sommets par ordre alphabétique. Donner la matrice d'adjacence $M$ associée au graphe. 
\item On donne :

\[M^3 = \begin{pmatrix}
0 &5 &3 &5 &1 &1 &4 &1\\ 
5 &2 &7 &2 &8 &3 &3 &5\\ 
3 &7 &6 &4 &9 &3 &9 &10\\ 
5 &2 &4 &0 &9 &2 &3 &8\\ 
1 &8 &9 &9 &4 &4 &10 &4\\ 
1 &3 &3 &2 &4 &2 &6 &6\\ 
4 &3 &9 &3 &10 &6 &6 &9 \\
1 &5 &10 &8 &4 &6 &9 &4\\
\end{pmatrix}
\]

Donner, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant E à H.
\end{enumerate}
 

\end{document}

